数值积分与数值微分：原理与方法探讨

第四章主要探讨的是数值积分和数值微分这两个关键概念在计算方法中的应用。章节开始于对数值积分的概述，指出虽然牛顿-莱布尼茨公式（也称为微积分基本定理）在理论上和实践中具有重要作用，但它并不能解决所有积分问题。实际中，遇到的情况包括： 1. 被积函数f(x)可能没有初等函数形式的原函数，例如三角函数和指数函数，这使得牛顿-莱布尼茨公式无能为力。 2. 即使原函数可用初等函数表示，但其表达式过于复杂，直接计算积分结果会变得困难，如复杂的对数和多项式函数的积分。 3. 对于非解析表达式的函数，仅依赖于数据表格或图形，原函数的求解更是难以精确。 为了克服这些问题，数值积分方法应运而生，它通过将积分区间划分为小部分，并在每个子区间内使用简单的函数逼近复杂函数，然后进行积分。这一过程通常涉及到多种求积公式，如牛顿-柯特斯公式、复合求积公式、龙贝格求积公式、自适应积分方法和高斯求积公式，它们提供了不同精度和效率的数值近似。 此外，章节还讨论了数值微分，它是处理函数求导问题的一种数值方法。由于微分定义为函数的局部变化率，当函数仅以表格形式提供或者其表达式难以解析求导时，数值微分技术就显得尤为重要。这种技术通常通过插值或有限差分的方法来估计函数在某点的导数值，即使原始函数形式不明确也能进行近似计算。 第四章着重介绍了数值积分和数值微分这两种在实际计算中广泛应用的工具，针对常规方法的局限性，提供了有效解决复杂积分和微分问题的策略。通过这些数值方法，可以处理那些无法通过解析手段得到精确答案的问题，极大地扩展了计算的适用范围。