MQ函数法求解偏微分方程的数值分析

"MQ函数在偏微分方程中的应用 (2012年) - 张颖超 - 湖南师范大学自然科学学报" 本文详细探讨了如何利用径向基函数，特别是Muhiquadric (MQ) 函数在解决偏微分方程(PDE)中的应用。MQ函数是一种常用的径向基函数，其表达式为φ(r) = √(r^2 + c^2)，其中r是距离，c是形状参数。这种函数在数值分析和插值问题中具有广泛的应用，因为它们能够灵活地适应不同空间分布的数据。 作者张颖超提出了一个基于MQ函数的算法来近似求解PDEs。该算法首先将问题转化为线性代数问题，通过插值过程形成矩阵方程，然后求解这个矩阵方程得到偏微分方程的数值解。文章强调了解决这类问题的方法步骤，为读者提供了实现该方法的清晰指导。 在数值实验部分，张颖超选取了一个具体的偏微分方程模型，对比了在相同步长下，改变MQ函数的形状参数时，解的绝对误差变化。实验结果表明，微分方程数值解的精确度与径向基函数的形状参数选择密切相关。有趣的是，尽管通常认为增加节点密度可以提高数值解的精度，但研究发现，这并不总是成立。在某些情况下，过于密集的节点可能会导致数值解的精度下降，这提示我们在实际应用中需要谨慎选择节点分布和形状参数。 此外，文章还证明了在插值过程中得到的矩阵方程解的存在性和唯一性。这一理论保证了使用MQ函数解PDE的方法在数学上是稳定的，具有可靠的理论基础。 关键词涉及MQ函数、数值解和偏微分方程，说明文章的重点在于MQ函数作为工具，用于提高PDE数值解的精度和稳定性。中图分类号0241.82和文献标识码A表明这是自然科学领域的学术论文，具有较高的研究价值。 这篇文章为理解和应用MQ函数解决偏微分方程提供了一种实用且理论完备的方法，对于从事数值计算和偏微分方程研究的学者具有重要的参考价值。