网络流问题详解： Dinic 算法与 EK 算法

"网络流的三个基本特点-网络流-Dinic-PPT" 网络流问题是一个在图论和运筹学中常见的优化问题，它涉及到在有向图中通过一系列边传输流量，以达到从源点到汇点的最大流量。在深入讨论网络流问题之前，我们先了解其三个基本特点： 1. 流量守恒：每条边(u, v)的实际流量f(u, v)不能超过其容量上限c(u, v)。这意味着边上的流量不能超过预设的最大允许流量，确保了流量不会被“溢出”。 2. 反向边流量关系：对于任意节点u和v，流量具有对称性，即f(u, v) = -f(v, u)。这一特性表明，如果从u到v有流量，那么从v到u就必须有等量的反向流量，以保持流量的平衡。 3. 流量平衡：除了源点s和汇点t之外，图中每个节点的入流量等于其出流量。这保证了在节点内部没有流量的积累或消耗。 接下来，我们介绍两种常用的求解最大流问题的算法：EK算法（Edmonds-Karp算法）和Dinic算法。 EK算法是基于增广路径的算法，其核心思想是通过寻找并利用增广路径来逐步增加从源点s到汇点t的流量，直到无法找到增广路径为止。增广路径是指在残留网络中从源点到汇点的一条路径，残留网络是在当前流量基础上，考虑还能传输多少额外流量的网络表示。EK算法通常采用广度优先搜索（BFS）来寻找增广路径，因为它保证了每次找到的增广路径具有最短的路径长度，从而获得最大的单次流量增加。 Dinic算法与EK算法类似，但它的主要区别在于使用了层次结构的思想。在每一轮迭代中，Dinic算法首先构建一个层次图，这个图的层次是根据节点到源点的最短距离划分的。然后，算法在层次图中使用深度优先搜索（DFS）寻找增广路径，并进行流量增广。如果在当前层次图中找不到增广路径，Dinic算法会重新计算层次图并继续搜索，直到无法找到更多的增广路径。 举一个实际的例子，假设我们有一个网络，其中1号节点是源点，6号节点是汇点，初始时各边的最大流量如图所示。通过应用上述算法，我们可以逐步增加流量，直到找到最大流。在这个例子中，最大流为3。然而，如果将(1, 2)的边容量改为2，那么最大流可能会发生变化，需要重新计算。 网络流问题在很多实际场景中有广泛应用，例如交通运输、通信网络设计、水资源分配等。理解和掌握网络流的基本原理和算法，可以帮助我们解决这些领域中的优化问题。