网络流算法详解： Dinic 算法与 EK 算法

"这篇PPT主要讲解了网络流问题中的最大流算法，特别是DFS寻找增广路的方法，以及 Dinic 算法的应用。通过一个具体的例子展示了如何找到从源点到汇点的最大流量，并解释了网络流的三个基本性质。在实际应用中，如求解1号店到6号点的最大流问题，可以使用这些算法来解决。" 在图论和运筹学中，网络流是一类重要的问题，它涉及在有向图中通过边传输流量，以寻找从源点到汇点的最大可能流量。在这个问题中，给定一个有向图 G=(V,E)，每条边(u,v)有一个流量上限 c(u,v)，源点 s 提供水源，汇点 t 接收流量。网络流需要满足三个基本条件： 1. 每条边(u,v)的实际流量 f(u,v) 不超过其容量上限 c(u,v)。 2. 对于所有 u,v，流量具有反向对称性，即 f(u,v) = -f(v,u)。 3. 除了源点和汇点，图中每个节点的入流量等于出流量。 EK算法（Edmonds-Karp算法）是解决网络流问题的一种方法，依赖于增广路的概念。增广路是在残留网络中从源点到汇点的一条路径，残留网络是当前流量状态下的网络，其中每条边的剩余容量为其原容量减去已分配的流量。如果在残留网络中能找到增广路，就可以通过这条路径增加总流量，直到无法找到增广路为止。 Dinic算法则是另一种高效的最大流算法，它采用了层次图的思想。首先，初始化流量并构建残留网络。接着，通过BFS（广度优先搜索）找出层次图，同一层次的节点具有相同的到源点的最短距离。然后，在层次图中使用DFS（深度优先搜索）寻找增广路。如果DFS找不到增广路，就回到BFS步骤，重新构建层次图并继续搜索，直到汇点不在层次图中，此时网络达到了最大流状态。 以题目给出的例子为例，1号店到6号点的最大流为3，可以通过1->2->4->6或1->3->4->6这样的路径达到。即使增加(1,2)的容量到2，由于网络结构限制，最大流仍然为3。在没有反向边的情况下，DFS可以有效地找到增广路，但如果有反向边，需要考虑反向边的流量，以确保正确计算每个节点的流入流出平衡。 DFS找增广路和Dinic算法是解决网络流问题的有效工具，它们能够帮助我们找到有向图中从源点到汇点的最大流量，这对于物流、通信网络、资源分配等问题有着广泛的应用。在实际应用中，理解并掌握这些算法的原理和操作步骤，对于优化网络资源的利用至关重要。