锥模型下的非单调自适应信赖域算法优化研究：理论与应用

本文主要探讨了"基于锥模型的非单调自适应信赖域算法"这一主题，发表于2011年的《山西大学学报（自然科学版）》第34卷第4期，580-586页。作者冯琳和段复建来自桂林电子科技大学数学与计算科学学院，他们针对无约束最优化问题提出了创新的求解策略。 传统的信赖域算法通常基于二次模型，但在处理非二次性态强烈的函数或曲率剧烈变化的情况时，二次模型的逼近效果不佳，可能导致最优点质量下降。Davidon在此背景下首次引入了锥模型，这是一种更为灵活和信息丰富的模型，它扩展了二次模型，允许更多的自由度。锥模型的一个具体形式为（2），其中包含了水平向量bk，使得模型在bk=0时退化为二次模型。 作者们利用这个模型，结合新颖的自适应技术，设计了一种非单调自适应信赖域算法。这种算法在遇到试探步不被接受时，会采取非单调线搜索策略，以减少计算负担。关键在于，算法能够动态调整信赖域半径，充分考虑当前迭代点的信息，从而提高算法的效率和精度。 算法的理论分析非常重要，作者在适当的条件下证明了该算法具有全局收敛性和Q-二阶收敛性，这意味着算法不仅能够在全局范围内找到最优解，而且收敛速度较快。数值实验的结果进一步验证了算法的有效性和实用性。 此外，文中还提到了之前的研究工作，如Sorensen对锥模型的拟牛顿方法的研究，以及诸梅芳、薛毅等人关于锥模型拟NEWTON型信赖域算法的贡献，这些都为本文的工作奠定了基础。信赖域算法随着研究的深入，不断发展和完善，锥模型的引入无疑为其带来了新的可能和挑战。 总结来说，这篇论文的核心内容是介绍了一种新的优化算法，它通过结合锥模型和自适应策略，改进了信赖域方法在解决无约束最优化问题上的性能，特别是在处理非线性性强和曲率复杂的问题时，展示了其优越的收敛性和效率。这是一项重要的理论研究成果，对优化理论和实际应用都有深远影响。