1994年非线性双曲型方程预测-校正法求解与验证

本文主要探讨了如何将预测-校正法应用于非线性双曲型偏微分方程的求解，这是一种扩展了传统的预测-校正方法来处理这类复杂数学模型的技术。非线性双曲型偏微分方程通常描述的是快速传播或扩散的过程，其形式可能类似于以下的混合问题： \[ \begin{cases} a(x)u_t + b(x)u_x = c(t, u), & \text{for } 0 < x < X, \quad t > 0, \\ u_x(0, t) + b_1u_x(X, t) = c_1, & \text{for } t > 0, \\ u(x, 0) = c_p(x), & \text{for } 0 \leq x \leq X, \\ u_t(x, 0) = c'_p(x), & \text{for } 0 \leq x \leq X, \\ \end{cases} \] 其中，\( a(x), b(x), b_1, c(t, u), c_1, c_p(x), \) 和 \( c'_p(x) \) 都是常数或函数。作者将区域 \( R = (0, X) \times (0, \infty) \) 分成多个子区间 \( [mh, mh+h] \) 并设置时间步长 \( r \)，通过网格点 \( (mh, nr) \) 来近似问题。 文章的核心内容是提出了几种不同的预测-校正格式，这些格式利用数值方法对二阶偏导数进行近似，如空间上的中心差分和边界上的向前差分，形成一组数值解 \( U(t_n) \)。这种方法的关键在于通过迭代过程，预测解在当前时间步和空间点的值，然后通过校正步骤调整这些预测值，以达到更精确的解。 预测-校正法在此处的作用是通过逐步逼近实际解，克服了非线性方程求解中的困难，特别是在边界条件（如(2)、(3)和(7)）的处理上。文章还提到，尽管预测-校正法在非线性抛物型偏微分方程求解中有广泛应用，但在双曲型问题中的应用相对较少，这表明本文的研究具有填补空白的意义。 文中最后指出，这项工作得到了1993年11月17日国家教委留学生基金课题的支持，显示了研究者对于该领域前沿的关注和对教育资助项目的重视。 本文的主要贡献是提供了一种有效的方法来求解非线性双曲型偏微分方程，特别是在复杂的混合问题上，通过预测-校正格式实现了数值求解的稳定性和准确性。这对于数值分析和工程应用具有实际价值。