非线性抛物方程组的无条件收敛差分格式研究

本文主要探讨了解非线性抛物方程组的一种高效有限差分格式。作者魏天功针对这类复杂的数学模型，提出了一个易于计算的数值方法，旨在解决非线性抛物方程组的数值解。论文的核心贡献在于证明了所提出的有限差分格式的存在性和收敛性，这是数值分析中的重要成果，因为它确保了算法在实际应用中的稳定性和有效性。 非线性抛物方程组通常形式复杂，难以解析求解，因此采用数值方法如有限差分是常见的策略。文章首先回顾了已有的研究，特别强调了某些强隐式格式虽然具有收敛性，但由于涉及到求解非线性代数方程组，实际计算上可能存在困难。本文则选择了一种新的差分格式，其特点是对于任意的时间步长，都可以找到解，并且该格式的收敛性不受时间步长限制，从而简化了数值求解过程。 论文假设了一些关键条件以保证问题的可处理性，包括系数矩阵A(x,t,p_i,...,p_{m-1})的正定性和Lipschitz连续性，以及函数F(x,t,p_i,...,p_{m-1})的连续性和局部Lipschitz性质，以及初始数据的光滑性和边界条件的满足。这些假设有助于保证差分格式的合理性及其在理论上的有效性。 在具体的差分格式设计部分，作者给出了详细的公式，通过将偏微分方程转化为离散形式，将连续问题转化为有限个离散点上的方程系统。然后，通过对这个系统进行理论分析，证明了差分格式的稳定性（无条件收敛性）和一致性，这对于数值方法的可靠性至关重要。 最后，本文不仅关注了数值解的存在性，还提供了先验估计，这有助于估计解的精度和误差控制，进一步提高了算法的实际应用价值。这篇论文对非线性抛物方程组的数值解提供了新颖而实用的方法，对于数值计算和工程应用有着重要的指导意义。