非线性优化：拟牛顿法及其Matlab实现

拟牛顿法及其性质在数字图像处理领域中的应用，尤其是在冈萨雷斯的第三版教材中占据重要地位。第五章专门探讨了这一主题，针对的是非线性最优化问题，这是运筹学和计算数学的核心内容。牛顿法因其二阶收敛速度被提及，但Hesse矩阵在某些情况下可能会带来问题，因此拟牛顿法作为一种替代方案被引入。 拟牛顿法是一种迭代优化算法，它通过构建和使用近似的海森矩阵（Hessian matrix）来估计目标函数的局部曲率，从而更有效地逼近极小值点。相较于牛顿法，拟牛顿法通常更为稳健，因为它不依赖于Hesse矩阵的精确计算，而是使用过去的信息来近似当前的梯度和曲率信息。这种方法在求解非线性优化问题时特别有用，特别是在处理复杂函数或者初始点选择不理想的情况下。 书中详尽介绍了几种常见的拟牛顿方法，如Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)算法、Davidon-Fletcher-Powell (DFP)算法以及Broyden族方法，这些方法通过不同的策略更新Hessian矩阵的近似，以提高算法的性能。此外，信赖域方法也是一种重要的拟牛顿技术，它限制了搜索步长，防止跳出有效的搜索区域，保证了算法的收敛性和稳定性。 在编程实现方面，书中提供了丰富的Matlab程序示例，包括精确线搜索的0.618法和抛物线法，以及非精确线搜索的Armijo准则，这些都是在优化过程中常用的搜索策略。此外，还有最速下降法、牛顿法的改进版本，以及用于解决非线性最小二乘问题的Levenberg-Marquardt (L-M)算法，这些方法都展示了拟牛顿法在实际问题中的应用。 对于读者群体，本书面向数学与应用数学、信息与计算科学专业的本科生，以及应用数学、计算数学和运筹学与控制论的研究生，理工科相关专业的研究生，以及对最优化理论和算法感兴趣的教师和科技工作者。要求读者具备基本的微积分、线性代数知识，并熟悉Matlab编程环境，因为许多算法的实现都是基于这个平台的。 拟牛顿法是数字图像处理中不可或缺的一部分，它在非线性最优化问题的求解中展现出了强大的适应性和效率。通过冈萨雷斯的这本教材，读者不仅可以深入了解其理论基础，还能掌握如何通过Matlab进行实际操作，为解决实际工程和科研问题提供有力的工具。