基于观测数据的布尔网络模型构建方法
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更新于2024-08-27
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"基于观测数据的布尔网络模型构建"
布尔网络是一种数学模型，常用于系统生物学、遗传学和复杂网络分析，它将系统中的各个组件（如基因或蛋白质）表示为布尔变量，它们的状态只能是“真”（1）或“假”（0）。这种网络描述了这些组件之间的相互作用，并通过布尔函数来模拟这些交互的影响。
在本文中，作者探讨了如何利用实际观测数据来构建布尔网络的动态模型。这样的数据可能来源于对癌症扩散过程的实验，例如，通过对细胞状态的诊断来获取。文章提出了多种构建方法，主要分为以下几步：
1. 构建代数形式：首先，不直接构建布尔网络的逻辑动力学，而是先构建其代数形式。这是因为代数形式通常更容易处理和分析，可以为后续的逻辑转换提供基础。
2. 最小入度模型：考虑到数据集的大小可能是个挑战，作者提出使用已知网络图来构建最小入度模型。这意味着每个节点的输入数量被最小化，从而显著减小了所需的数据集大小。这对于处理大规模网络尤其有用，因为减少数据需求可以降低实验成本和时间。
3. 统一布尔网络：接下来，作者研究了统一布尔网络，这是一种特殊类型的网络，其中所有节点遵循相同的更新规则。研究发现，这类网络的识别对网络大小不敏感，这意味着不论网络规模多大，所需的数据点数量基本保持不变，这是对数据收集的一种优化。
4. 处理错误数据：最后，文章讨论了处理观测数据中的错误或不确定性问题。在实际应用中，数据往往不可避免地存在误差，因此提出了处理这些错误数据的原则，以确保模型的稳定性和准确性。
在《IEEE Transactions on Neural Networks》期刊2011年4月刊的第22卷第4期中，作者Daizhan Cheng（IEEE会士）、Hongsheng Qi（IEEE会员）和Zhiqiang Li通过这篇论文，详细阐述了以上方法，并提供了理论分析和潜在的应用场景，对于理解复杂系统动态行为和设计实验策略具有重要指导意义。这些方法不仅适用于生物学问题，还可以应用于其他领域，如社会科学和工程系统的建模。
CHENG et al.: MODEL CONSTRUCTION OF BOOLEAN NETWORK VIA OBSERVED DATA 527
3) Let x ∈ .Then
x
2
= M
r
x (7)
where M
r
= δ
4
[14] is called the power-reducing
matrix [11].
C1 is based on the above properties of the semi-tensor
product. A briefly explanation is given as follows.
Step 1: (2) → (3).
1) Using SMs of basic LOs to express f
i
(x
1
,...,x
n
) as
a product of SMs M
j
and arguments x
i
.
For instance, consider
f (x
1
, x
2
) = x
2
↔ (x
1
∧ x
2
)
= M
e
x
2
M
c
x
1
x
2
. (8)
2) Using (5) to move all M
j
to the front and all x
i
to
the rear.
For instance
M
e
x
2
M
c
x
1
x
2
= M
e
(I
2
⊗ M
c
)x
2
x
1
x
2
. (9)
3) Using (6) to re-order x
i
.
For instance
x
2
x
1
x
2
= W
[2,2]
x
1
x
2
2
. (10)
4) Using (7) to reduce the order of x
i
. Previous steps
may be used again to get the final form.
For instance
x
1
x
2
2
= x
1
M
r
x
2
= (I
2
⊗ M
r
)x
1
x
2
. (11)
Summarizing (8)–(11) yields
f (x
1
, x
2
) = M
f
x
1
x
2
(12)
where the SM M
f
is
M
f
= M
e
(I
2
⊗ M
c
)W
[2,2]
(I
2
⊗ M
r
).
Step 2: (3) → (4). Denote by Col
i
(M) the ith column of
matrix M. Then the coefficient matrix L in (4) can be obtained
by [24]
Col
i
(L) =
n
j=1
Col
i
(M
j
), i = 1,...,2
n
. (13)
Next consider C2. C2 is essential for this paper. It is briefly
described as follows.
Step 1: (4) → (3). Define a set of matrices in L
2×2
n
, called
the retrievers, as
S
n
1
= δ
2
[1,...,1
2
n−1
, 2,...,2
2
n−1
]
S
n
2
= δ
2
[1,...,1
2
n−2
, 2,...,2
2
n−2
, 1,...,1
2
n−2
, 2,...,2
2
n−2
]
.
.
.
S
n
n
= δ
2
[1, 2, 1, 2,...,1, 2]. (14)
Then
M
i
= S
n
i
L, i = 1,...,n. (15)
Hence
x
i
(t + 1) = M
i
n
j=1
x
j
(t), i = 1,...,n. (16)
x
1
x
2
x
3
x
4
Fig. 1. Network graph of (21).
Step 2: Simplify (3). Use the following theorem to remove
the fabricated variables.
Theorem 2.2: Let the algebraic form of a logical
function be
f (x
1
,...,x
n
) = M
n
j=1
x
j
. (17)
f is independent of x
j
(i.e., x
j
is a fabricated variable), iff
MW
[2,2
j−1
]
(I − M
n
) = 0 (18)
where M
n
is the SM of negation and W
[p,q]
is the swap
matrix [23]. Moreover, if (18) holds, then the function can
be expressed as
f (x
1
,...,x
n
) =
˜
Mx
1
...x
j−1
x
j+1
...x
n
where
˜
M = MW
[2,2
j−1
]
δ
1
2
.
Step 3: (3) → (2). Let
f (x
1
,...,x
n
) = M
n
i=1
x
i
. (19)
Split M into two equal parts as M =[M
1
, M
2
].Then
f (x
1
,...,x
n
) = (x
1
∧ f
1
(x
2
,...,x
n
))
∨(¬x
1
∧ f
2
(x
2
,...,x
n
)) (20)
where f
i
has its SM as M
i
, i = 1, 2.
Using (20) repeatedly, the algebraic form (3) can finally be
converted into its logical form as (2).
Remark 2.3: For k-valued logical networks, identify
i
k − 1
∼ δ
k−i
k
, i = 0, 1,...,k − 1.
Then with mild modifications, all the above forms and
conversions remain true. For instance, we have (3) with M
i
∈
L
k×k
n
, i = 1,...,n, and (4) with L ∈ L
k
n
×k
n
[25]. So the
following identification process remains applicable to k-valued
logical networks.
The following example shows how to realize conversion C1.
Example 2.4: Consider the Boolean network shown in
Fig. 1.
Its dynamics are described as
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x
1
(t + 1) = x
1
(t) → x
4
(t)
x
2
(t + 1) =¬x
1
(t)
x
3
(t + 1) = x
2
(t) ∧ x
4
(t)
x
4
(t + 1) = x
2
(t) ↔ x
3
(t).
(21)
First, express the system (21) in its component-wise alge-
braic form as
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x
1
(t + 1) = M
i
x
1
(t)x
4
(t) = δ
2
[1211]x
1
(t)x
4
(t)
x
2
(t + 1) = M
n
x
1
(t) = δ
2
[21]x
1
(t)
x
3
(t + 1) = M
c
x
2
(t)x
4
(t) = δ
2
[1222]x
2
(t)x
4
(t)
x
4
(t + 1) = M
e
x
2
(t)x
3
(t) = δ
2
[1221]x
2
(t)x
3
(t).
(22)
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