欧拉矩阵法：高效求解高阶线性微分方程组的新方法

本文主要探讨了利用欧拉矩阵法来解决高阶线性微分-微分方程组的问题。高阶线性微分-差分方程组，如公式(1)所示，由于其复杂性，往往难以通过解析方法求解，因此数值方法成为必要的工具。作者Farshid Mirzaee和Saeed Bimesl提出了一种新的矩阵方法，该方法基于构造欧拉多项式及其导数的矩阵形式，并将其与给定的初始条件结合，形成基本矩阵方程，这实质上是一个线性代数方程组。 在构建过程中，他们首先考虑了形式为 \[ M \frac{d^ny}{dx^n} + a_n \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + b_n \frac{d^{n-2}y}{dx^{n-2}} + ... + c_n y = l \] 的高阶微分-差分方程，其中\( M \), \( a_n \), \( b_n \), \( c_n \), 和 \( l \) 是常数，\( F_n(x) \) 是定义在区间\( [a, b] \)上的连续函数。通过构造相应的欧拉矩阵，将问题转化为矩阵形式，从而简化了解决步骤。 欧拉多项式的矩阵形式有助于将问题分解成易于处理的线性组合，使得求解过程变得直观且有效。这种方法的关键在于求解得到的线性代数方程组，通过求解该方程组，可以确定出未知的欧拉系数，这些系数对于解出原微分方程组至关重要。 作者提供了若干实例进行验证，通过对比分析，证明了新方法在求解这类高阶线性微分-差分方程组时的可靠性和有效性。本文的研究成果符合2014年AMS（美国数学学会）分类中的子类别，包括35B30（偏微分方程的特殊类型）、37M05（离散动力系统）、65M22（数值微分方程的稳定性）、以及65N22（数值微分方程的数值方法）。 这篇文章提供了一种新颖且实用的方法，对于从事微分方程理论研究的数学家和工程师来说，是解决高阶线性微分-差分方程组的有效工具，尤其在数值计算和实际应用中具有重要意义。