LDA算法解析：降维与分类效果比较

"实验报告-理解LDA算法及其与PCA的对比" 实验二：LDA算法1主要关注线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）的基本原理、算法模型以及它与主成分分析（PCA）的比较。LDA是一种统计分析方法，常用于特征降维和分类，尤其在机器学习和模式识别领域广泛应用。 1. **LDA原理**： LDA的目标是寻找一个低维空间，使得类别间的距离最大化，而类别内的数据点聚集程度最小化。它基于最大类间方差与最小类内方差的准则，寻找投影矩阵W，使得变换后的数据能更好地区分不同类别。 2. **LDA算法推导**： - 首先，对于已分类的数据集，LDA寻找一个列向量w，使得样本投影到w上的投影平方和（即方差）能最好地反映类别的差异。 - 求得每个类别的样本均值μ_i，并计算总体样本均值μ。 - 类内散度矩阵Sb衡量类别内部数据点的分散程度，它由所有类别的样本减去类均值后，再进行投影并求平方和得到。 - 类间散度矩阵Sw考虑了类别间的差异，它是所有类别的样本均值减去总体样本均值，再投影并求平方和得到。 - LDA的关键在于找到投影向量w，使得类间散度与类内散度的比率最大化，即最大化Fisher准则J(w) = (Sb - Sw) / Sw。 3. **LDA与PCA的比较**： - PCA主要目标是保留原始数据的大部分方差，不考虑类别信息，适用于无监督学习场景。 - LDA则强调类别信息，试图最大化类间差异，适用于有监督学习，尤其在分类任务中。 - 在人脸识别等领域，PCA得到的“eigenfaces”着重于捕捉面部的全局变化，而LDA得到的“fisherfaces”则更注重区分不同个体的特征。 4. **实验内容**： - 实验要求详细阐述LDA的推导过程，包括Sb=Sw+Sd的证明。 - 对比PCA和LDA在不同数据集上的表现，尤其是在人脸识别的准确率。 - 展示PCA和LDA在二维和三维空间中的投影效果，比较两者在区分不同类别上的差异。 5. **实验方法**： - 使用多个数据集进行PCA和LDA的实施，评估它们在降维和分类性能上的区别。 - 通过可视化手段，展示eigenface和fisherface的差异，以及PCA和LDA投影的异同。 总结，实验二：LDA算法1旨在深入理解LDA的数学基础，掌握其在特征降维中的应用，并通过与PCA的对比，揭示LDA在处理有类别信息的数据时的优势。实验过程涵盖了理论推导、模型实现和实证分析，有助于学生全面理解和应用LDA算法。