ACM动态规划之道路重建策略

"这篇资源主要涉及的是ACM竞赛中的算法问题，特别是动态规划的应用。文章以‘道路重建’为背景，讲述了农夫John如何通过计算最少破坏多少条道路来使指定数量的牛舍形成孤立的子树。这个问题是树形结构下的动态规划问题，同时也涉及图论中的树和连通性概念。资源中还引用了《算法艺术与信息学竞赛》这本书，并列举了一系列的动态规划题目，包括但不限于括号序列、棋盘分割、决斗、跳舞机等，这些都是ACM竞赛中常见的动态规划应用场景。此外，还提及了多个具体题目，如公路巡逻、并行期望值、高性能计算机等，这些题目旨在训练和提升参赛者解决实际问题的能力，涉及到的算法包括最短路径、期望值计算、图的遍历等。" 在‘道路重建’这个问题中，关键在于理解树的结构和动态规划的思想。首先，每个牛舍和道路可以构建一个无环图，即树。树的特点是任意两个节点间有且仅有一条路径。问题转化为求解最小割，也就是找到最小的边集，使得这个边集的移除能将树分割成包含p个节点的子树和其他部分。动态规划的方法是从根节点开始，自底向上地计算每个节点为根时，需要破坏多少条边才能形成大小为p的子树。状态可以表示为dp[node][p]，其中dp[node][p]表示以node为根，子树大小为p的最小破坏边数。 动态规划的状态转移方程可以通过考虑以下几种情况来建立： 1. 不包含当前节点的子树：dp[node][p] = min(dp[child][p])，遍历所有子节点child。 2. 包含当前节点但不包含其子树：dp[node][p] = dp[node][p-1]，因为当前节点必须被包含在内，所以子树大小减1。 3. 包含部分子树：需要递归计算子树的最小破坏边数，并加上从当前节点到子树的边。 通过这样的状态转移，我们可以遍历整棵树，计算出任意大小p的子树所需的最小破坏边数。这个问题不仅展示了动态规划的实用性，还强调了解决复杂问题时的抽象思维和建模能力，是ACM竞赛中常见的重要题型。