图论算法详解：遍历、生成树与最短路径

"本书主要介绍了图论算法的理论、实现及应用，涵盖了图的基本概念、存储方式、遍历、树与生成树、最短路径、可行遍性、网络流、图的连通性等问题，适合计算机及相关专业作为教材或ACM/ICPC竞赛辅导材料。" 在图论中，图是由顶点和边构成的数据结构，用于表示各种关系。图论起源于欧拉的哥尼斯堡七桥问题，这是一个经典的图论应用实例。欧拉通过将实际问题转化为图的形式，提出了判断一个图是否能够进行一次遍历每个边只经过一次的法则。 图的存储方式主要有两种：邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维数组，用于表示图中任意两个顶点之间是否存在边；邻接表则更节省空间，它为每个顶点维护一个列表，列出与其相邻的所有顶点。 图的遍历是图论中的基础操作，包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。深度优先搜索通常使用栈进行，沿着某条路径深入探索，直到无法再深搜，然后回溯到上一个节点继续探索。在连通图中，DFS可以构造出一棵深度优先搜索树，其中的边分为生成树边和回边。生成树边是DFS过程中形成的树状结构，而回边则是导致回溯的边，通常表示环路的存在。 生成树是在无向图中找到的一个子集，这个子集包含了所有顶点，并且没有环，这样的子集就是原图的生成树。在图8.8中，(2, 4)、(6, 7)等边属于生成树边，而虚线表示的边是非生成树边，即回边。回边在DFS过程中表示已访问过的节点再次被访问，通常出现在环路中。 树与生成树问题是图论中的重要部分，包括寻找最小生成树（例如Prim算法和Kruskal算法）、最近点对问题等。最小生成树算法可以找到连接所有顶点且总权重最小的边集合。 最短路径问题，如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，用于找出图中两个顶点间的最短路径。这些问题在路由选择、交通规划等领域有广泛应用。 可行遍性问题关注的是在图中是否可以从一个顶点到达另一个顶点，这涉及到图的连通性。如果图是连通的，则从任一顶点出发都可以到达其他所有顶点。 网络流问题，如Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法，处理的是在图中如何最大化从源点到汇点的流量，常用于解决分配、运输等实际问题。 点支配集、点覆盖集、点独立集、边覆盖集、边独立集（匹配）以及图的着色问题是图论中的一些经典优化问题，它们在组合优化、编码理论、通信网络等方面有着重要应用。 平面图是指可以在平面上绘制的图，不使任何两条边相交（除了在顶点处）。平面图与图的着色问题有关，例如四色定理，它断言任何平面图可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域颜色不同。 图论算法是计算机科学中的核心内容，不仅在理论上有深厚的数学基础，而且在实际应用中具有广泛的价值。这本书详细讲解了这些算法的理论、实现和实例，旨在帮助读者深入理解和掌握图论在计算问题中的应用。