计算信道容量与信息理论应用:从硬币称重到骰子投掷

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"该资源是一份关于信息论的解答,涉及到信道容量计算、编码理论以及信息量的计算。" 在信息论中,信道容量(Channel Capacity)是指在给定信道条件下,能保证可靠通信的最大信息传输速率。标题中的问题首先计算了一个对称信道的容量,公式为\( C = 2^{H(r)} \),其中\( H(r) \)是信道输入的熵,对于题目中提到的信道,因为每一行和每一列都是第一行和第一列的置换,所以信道是对称的,熵\( H(r) = -\sum p_i \log_2(p_i) \)。计算得到的信道容量是 \( C = 2^{1.15} \)比特/码符号。 接着,问题探讨了码长为2的重复码,这是一种编码方式,用于提高信息传输的可靠性。在本例中,使用了5个码字(00、11、22、33、44),信息传输率为 \( R = \frac{5}{2} \log_2(1) \) 比特/码符号。为了设计最大似然译码器,考虑所有可能的输出组合,并计算错误概率 \( EP \)。 接下来的问题询问是否存在码长为2的码,使得每个输入码字的错误概率 \( P_e(i) \) 相等。如果这样的码存在,那么它们应该具有相同的错误概率,即 \( P_e(0) = P_e(1) = ... = P_e(4) \)。但是,根据题目中的信息,没有给出具体的条件或方法来找到这样的码,所以无法直接得出结论。 在第二部分的课后习题中,涉及了信息量的计算和决策过程: - 问题2.1是一个经典的逻辑推理题,利用天平来找出12枚硬币中的假币。信息论角度分析,通过计算消除不确定性的信息量来确定最少的称量次数。每次称量可以消除的不确定性是 \( I = log_2(3) \) 比特,所以至少需要称3次来确定假币。 - 问题2.2讨论了同时扔两个骰子的信息量计算。分别计算了点数之和为2、8和3与4的情况下的信息量。信息量由对应的概率决定,概率越小,信息量越大。 - 问题2.3探讨了在不同情境下提问“明天是星期几”所获得的信息量。如果不知道今天是星期几,答案有7种等概率的可能性,信息量为 \( I = log_2(7) \) 比特。而在已知今天是星期四的情况下,答案只有两种可能性(星期五或星期六),信息量相应减少。 这些习题展示了信息论在实际问题中的应用,包括如何量化信息、解决不确定性以及通过编码策略改善通信质量。通过深入理解这些概念,可以更好地设计和分析通信系统。