贝叶斯线性回归与高斯过程：模型复杂度控制

"这篇资料主要介绍了贝叶斯线性回归，它是高斯过程回归（GPR）的基础。文章探讨了如何在模型复杂性和数据集大小之间取得平衡，并指出贝叶斯处理能有效解决这一问题。此外，还提到了参数分布、先验概率分布以及后验分布的概念，并详细阐述了在选择共轭高斯先验的情况下，如何计算得到高斯形式的后验分布。" 贝叶斯线性回归是统计学和机器学习领域中的一种方法，它结合了贝叶斯定理与线性回归模型。这种方法对于处理模型复杂度与数据量之间的关系尤为有用。在最大似然估计中，当模型的复杂度（如基函数的数量）没有根据数据集的大小适当调整时，可能会导致过拟合或欠拟合的问题。为了解决这个问题，通常会引入正则化项来控制模型复杂度。然而，选择和确定基函数仍然是一项关键任务。 在贝叶斯框架下，模型参数有一个先验概率分布p(w)，这个分布通常是已知的，并且通常选择共轭先验，以便于计算后验分布。在这个例子中，选择了高斯分布作为先验，即p(w) = N(w|m0, S0)，其中m0是均值，S0是协方差矩阵。这是因为高斯噪声下的似然函数具有指数形式，使得后验分布也保持为高斯分布，这是共轭性的体现。 后验分布p(w|D)是似然函数p(D|w)和先验分布p(w)的乘积，再除以数据集D的证据概率p(D)。由于采用了高斯先验，后验分布同样也是高斯分布，可以表示为p(w|t) = N(w|mN, SN)，其中mN是后验均值，SN是后验协方差矩阵。后验均值mN和后验协方差SN的计算涉及到先验均值m0、先验协方差S0以及数据相关的项，如β（噪声精度参数）、Φ（特征矩阵）和t（目标变量）。 通过贝叶斯线性回归，我们可以得到一个动态更新的模型参数分布，这允许模型随着新数据的引入而不断调整其参数，从而提供了一种灵活且适应性强的建模方式。这种处理方式在处理小样本或需要对模型不确定性进行建模的问题时特别有价值，尤其是在高斯过程回归等更复杂的框架中。