二叉树与树的表示及转换

"本资源为关于树和二叉树的基础知识，主要涵盖算术表达式与前后缀形式的转换、二叉树表示算术表达式、树的度和叶子数的计算、二叉树的性质以及森林与二叉树的关系等。" 1. 前缀、中缀和后缀表达式：前缀表达式（又称逆波兰表示法）以运算符位于操作数之前的形式表示算术表达式，例如，算术表达式A+B*C-D/E的前缀形式可以是-+*AB/CDE。中缀表达式是我们通常使用的运算符在操作数之间的形式，如A+B*C-D/E。后缀表达式（又称波兰表示法）则是运算符位于操作数之后，如ABC*+DE/-。转换规则通常涉及栈操作，如中缀转后缀，遇到操作数入栈，遇到运算符则与栈顶操作数出栈并生成新的后缀表达式。 2. 二叉树表示算术表达式：二叉树可以用来直观地表示算术表达式的结构，其中每个内部节点代表一个运算符，每个叶节点代表一个操作数。例如，一个二叉树可以表示为A*B+C/(D*E)+(F-G)，其中运算符作为非叶节点，操作数作为叶节点。 3. 树的度、结点和叶子数：树的度是指树中结点的最大子节点数。在问题4中，给定树T的度为4，分别有4个度为1的结点，2个度为2的结点，1个度为3的结点，1个度为4的结点。根据普里姆公式，对于任意一棵树，其叶子数（即度为0的结点）可以这样计算：L = n0 + 1 - d，其中n0是叶子数，d是所有结点的度之和。应用此公式，我们可以解出叶子数。 4. 二叉树的性质：二叉树的度可以是0到2之间任意值。正确的说法是，只有一个结点的二叉树的度为0（选项①正确），而深度为K的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树（选项④正确）。二叉树的左右子树交换可能会改变其结构，所以不是任意可交换的（选项③错误）。 5. 森林与二叉树的关系：森林可以通过某种转换变为二叉树，如中序遍历森林的转换方法。在问题6中，森林F转化为二叉树B后，如果B的根节点p的右子树有n个结点，那么森林F中第一棵树的结点个数是m-n+1，因为森林的每棵树对应二叉树的一条链，最后一棵树的所有结点都在根的左子树上，而根的右子树包含的是除第一棵树外的其他树的结点。 6. 层次平衡二叉树：一棵二叉树如果满足任意两个子结点数小于2的结点之间的层数差不超过1，那么这棵树被称为层次平衡二叉树。在问题5的空缺处，这描述了平衡二叉树的特性。 通过上述解析，我们深入了解了树和二叉树的基本概念、性质以及它们在算术表达式处理中的应用。这些知识对于理解数据结构和算法至关重要，特别是在计算机科学的许多领域，如编译原理、算法设计等。