核方法在模式识别中的应用——线性回归与岭回归

"核方法概述——线性回归-哈工大模式识别——核方法概要" 在模式识别领域，核方法是一种强大的技术，它允许我们处理非线性问题，尤其是在高维空间中的数据。核方法的核心思想是将原始数据通过一个映射函数（也称为核函数）映射到一个高维特征空间，使得在特征空间中可以找到线性关系，从而解决原本在原始空间中的非线性问题。本节主要讨论核方法在线性回归中的应用。 线性回归是一种预测模型，它通过找到一个线性函数来最佳拟合给定的训练数据集。在核方法中，这个线性函数是在特征空间中的，而不是原始输入空间。给定一个n维空间中的训练集合 \( S \)，目标是找到一个齐次线性函数 \( w^Tx \) ，使得该函数对于集合 \( S \) 中的每个样本 \( (x_i, y_i) \) 都是最优的插值。 线性回归的优化目标通常表述为最小化预测值与真实值之间的平方误差和，即损失函数 \( L \) 为： \[ L = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}(y_i - w^Tx_i)^2 \] 在矩阵形式下，损失函数可以表示为： \[ L = \frac{1}{2} (y - Xw)^T(y - Xw) \] 其中，\( y \) 是长度为n的目标向量，\( X \) 是包含所有训练样本的列向量的矩阵，\( w \) 是权重向量。为了求得最优解，我们需要找到 \( w \) 使得损失函数最小。如果 \( X \) 是满秩的，且其转置 \( X^TX \) 可逆，那么可以解出 \( w \)： \[ w = (X^TX)^{-1}X^Ty \] 这被称为正规方程的解。然而，当 \( X^TX \) 不可逆时，可能存在过拟合或者数据不足的问题，导致系统不适定（ill-posed）。此时，引入岭回归（Ridge Regression）进行正则化，即在损失函数中添加 \( \lambda w^Tw \) 项，其中 \( \lambda \) 是正则化参数，这将限制模型复杂度并避免过拟合： \[ L_{\text{Ridge}} = \frac{1}{2} (y - Xw)^T(y - Xw) + \frac{\lambda}{2} w^Tw \] 这样，即使在 \( X^TX \) 不可逆的情况下，也可以找到一个解 \( w \)： \[ w = (X^TX + \lambda I)^{-1}X^Ty \] 其中，\( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 控制了正则化的程度，平衡模型的复杂度与拟合度。通过选择合适的核函数和正则化参数，核方法能够有效地解决非线性模式识别问题，并在高维特征空间中找到最优的决策边界。