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分层图思想:信息学竞赛中的建模利器
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更新于2024-08-01
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最小割定理--肖天论文 在这篇论文中,作者肖天探讨了"最小割定理"在信息学竞赛中的应用,特别关注的是如何利用"分层图思想"来解决网络流问题。最小割定理是一种核心的图论概念,它涉及到图中两个顶点集合之间的最小边数,这些边一旦被切断,会导致两个集合间的连通性丧失。这个理论在设计和分析复杂的网络结构时,如电信网络、物流网络等,具有重要意义。 肖天通过分析几道信息学竞赛题目,展示了如何将复杂问题通过"分层图思想"简化。这种方法首先是对问题进行深入剖析,挖掘出其内在的结构和性质,然后将原始问题抽象成多层图,每一层代表问题的不同维度或子问题。这种转换使得原本难以表达的图论模型变得清晰和严谨,有助于理解和解决问题。 分层图思想的关键在于将干扰因素融入到数学模型中,使得模型能够适应问题的复杂变化。通过这种方式,即使某些问题看似可以归结为经典问题,如网络流,但在加入新元素后,原有的解决方案可能不再适用。通过扩展和重构模型,肖天的方法能够恢复模型的精确性和有效性,从而找到适用于这些问题的算法。 论文中提到的"拯救大兵瑞恩"可能是引用的一个具体例子,用来说明如何运用分层图思想处理具有干扰因素的实际问题。通过这个例子,读者可以了解到如何将复杂情境下的决策问题分解为多个层次,以便于通过数学模型找到最优解。 肖天的论文提供了一种实用的策略,即通过构建分层图模型,来解决那些看似复杂但可以通过深入挖掘问题本质而变得可管理的网络流和其他相关问题。这种方法强调了数学模型在问题解决中的关键作用,以及如何通过创新思维来应对现实世界中的挑战。
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IOI2004 国家集训队论文 肖天
第 4 页 共 19 页
他们只能向南或向东移动,分别到达 P 个指定的终点。
问至少拆掉多少堵墙使得这是可行的(墙拆掉后可以任意通行),即所有的
人可以从各自的起点出发依照游戏规则到达各自的终点。
参数限定:
3≤N,M≤20;1≤P≤3
为说明方便,下面我们只讨论 M=N,P=3 的情况。(P<3 时,可以添加起点
终点重合的人而使 P 达到 3)
解法 1:仿照《方格取数》
3
一题进行动态规划。
以平行于副对角线的斜线划分阶段,令 S(i,x
1
,x
2
,x
3
)表示三个人分别走到第 i
条斜线上第 x
1
,x
2
,x
3
行需要拆掉的最少墙数。对于每一个状态,每个人有向南和
向东两种走法,共 2
3
=8 中决策。则有状态转移方程
+−
+−−
+−−
+−−−
+−−
+−−−
+−−−
+−−−−
=
?),,,1(
?)1,,,1(
?),1,,1(
?)1,1,,1(
?),,1,1(
?)1,,1,1(
?),1,1,1(
?)1,1,1,1(
min),,,(
321
321
321
321
321
321
321
321
321
xxxiS
xxxiS
xxxiS
xxxiS
xxxiS
xxxiS
xxxiS
xxxiS
xxxiS
其中,?表示相应决策需要拆的墙数,显然它只能在{0,1,2,3}中取值。由于
情况较多,这里不再赘述。
另外,由于每个人的起点并不一定在地图左上角,终点也不一定在地图右下
角,所以递推时还要处理一些细节。详见附录中的程序。
此算法的时间复杂度为 O(N
4
)。
解法 2:应用分层图思想建立数学模型,将问题转化为最短路问题
我们先来分析一下本题的特点。
首先,每个人移动路线的可行性是不受其他成员影响的,而在计算代价时不
同人之间仅当他们经过同一堵墙时才有关系。如果忽略这种关系,那么每个人的
路线应是他起点终点之间的一条最短路。换句话说,有的人可能会迁就其他人而
导致其路线不是最短路,但他们不在公共路线上时每个成员的路线都是最短路。
我们定义:
定义 1:纯路段是某一可行解的一部分,他与每个家庭成员路线的交集要么
是空集,要么是它本身(即它是该成员路线的一部分)。直观的说,某一可行解
的纯路段不分岔。
定义 2:极大纯路段是某个可行解的纯路段,但不是该解中任何其它纯路段
的子路段。
这样,我们刚才得到的性质就可以表述为:最优解中的每个纯路段都是连接
其两端点的最短路。所以,一 个 最 优 解 可 以 由 其 中 所有极大纯路段端点的集合唯
一确定。于是我们就有了一个最朴素的算法:枚举这些端点。虽然这个算法的时
3
全国青少年信息学奥林匹克分区联赛复赛高中组第 4 题,原文及解法见参考文献[2]
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