图数据结构与最小生成树：普里姆算法解析

"本资源主要介绍了图的抽象数据类型、存储表示、遍历方法以及在图理论中的几个重要概念，包括最小生成树和最短路径问题。特别关注了普里姆算法和克鲁斯卡尔算法，这两种用于寻找图中最小生成树的算法，并对比了它们在稠密图和稀疏图中的适用性。此外，还涵盖了拓扑排序、关键路径等相关内容。" 在图论中，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是两种常用来求解最小生成树问题的算法。最小生成树是指在无向图中找到一个边的集合，这些边连接了所有顶点，且总权重最小。 1. 普里姆算法： 普里姆算法适用于稠密图，它从一个顶点开始，逐步添加边，每次选择当前未加入树中且与已加入树的顶点相连的边中权重最小的那条，直到所有顶点都被包含在内。其时间复杂度为O(n^2)，其中n是顶点的数量。 2. 克鲁斯卡尔算法： 克鲁斯卡尔算法则更适合稀疏图，它首先将所有边按权重从小到大排序，然后依次添加未形成环的边。同样，直到所有顶点连通为止。该算法的时间复杂度为O(e log e)，其中e是边的数量。 图可以分为有向图和无向图。有向图的边是有方向的，而无向图的边没有方向。无向图的边可以用圆括号表示，如(A,B)，而有向图的边用尖括号表示，如<A,B>。 对于图的度，每个顶点的度是与其相邻的边数。在无向图中，度是入度和出度的总和，而在有向图中，出度是作为起点的边数，入度是作为终点的边数。 图的分类： - 稠密图：边的数量接近于n(n-1)/2（无向图）或n(n-1)（有向图）。 - 稀疏图：边的数量远小于nlogn。 此外，图的一些其他重要概念包括： - 连通图：图中任意两个顶点都可通过一系列边相连。 - 强连通图：在有向图中，任意两个顶点间都存在双向的路径。 - 子图：图的一部分，包含原图的某些顶点和这些顶点间的边。 - 生成树：图的一个子集，包含所有顶点，且没有环，形成了一个树形结构。 - 最短路径问题：找出图中两点间的路径，使得经过的边的权重之和最小。 拓扑排序是对有向无环图(DAG)的顶点进行排序，使得对于每条有向边<u, v>，u总是在v之前。关键路径是项目管理中的一个概念，表示完成项目所需的最短时间，涉及的任务序列及其相互依赖关系。 以上内容涵盖了图的基本概念，存储方式，遍历方法，以及与最小生成树和最短路径相关的算法，为理解和应用图的理论知识提供了基础。