图的算法讲解:普里姆与克鲁斯卡算法
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更新于2024-08-23
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"本资源主要介绍了图的基本概念和两种典型的最小生成树算法——普里姆(Prim)算法和克鲁斯卡(Kruskal)算法,适用于数据结构导论中的第5章学习。"
在数据结构导论中,图是一种重要的抽象数据类型,它由顶点集V和边集E组成,即Graph=(V,E)。顶点可以标记不同的字符或数字,边可以是有向或无向的。无向图中,每条边用(v,w)表示,而有向图中,每条弧用<v,w>表示,其中v是弧尾,w是弧头。
对于带权的图,我们称之为有向网或无向网,权值通常代表边的代价或距离。子图是指一个图G中的部分顶点和边组成的新的图G',其中V'⊆V,E'⊆E。
在图中,顶点的度是与之关联的边的数量。对于无向图,顶点的度等于入度加出度;对于有向图,我们区分出度(OD)和入度(ID),顶点的总度等于出度加上入度。完全图是所有顶点间都有边相连的无向图,边的数量e=n(n-1)/2;有向完全图则是每对顶点间都有两条有向边,即e=n(n-1)。
最小生成树是图论中的一个重要概念,用于寻找一个加权图中所有顶点的树形子图,使得这棵树包含图中的所有顶点,并且边的权重之和尽可能小。在资源中提到了两种构造最小生成树的经典算法:
1. **普里姆(Prim)算法**:从一个起始顶点开始,逐步添加边到当前的树中,每次选择与当前树连接的边中权重最小的一条,直到所有顶点都被包含。这个过程可以通过优先队列(如二叉堆)来优化效率。
2. **克鲁斯卡(Kruskal)算法**:按照边的权重从小到大排序,然后逐一检查每条边是否形成环,如果不会形成环则加入到当前的生成树中。为了避免添加形成环的边,可以使用并查集等数据结构来维护边之间的连通性。
这两种算法都是在保证不形成环的前提下,尽可能地选择边来构建最小生成树,但它们的策略不同,普里姆从一个顶点扩展,而克鲁斯卡则是全局优化边的顺序。
拓扑排序是另一种与图相关的操作,主要用于有向无环图(DAG),它将顶点按其不存在反向边的顺序排列。这两种最小生成树算法在解决实际问题中,如网络设计、运输规划等方面有着广泛应用。理解并熟练掌握这些算法对于学习和应用数据结构至关重要。
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深井冰323
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