递归解法：圣诞老人礼物放置问题

在这个关于"9714 圣诞礼物"的问题中，我们探讨的是一个经典的组合数学问题，涉及到将M个相同的礼物分配到N个不同的袜子中，允许有些袜子空置。这是一个典型的“隔板法”或“插板问题”的变体，它源自于动态规划和组合计数。问题的关键在于找到所有可能的放法数量，同时考虑到重复的排列是被视为相同的。 1. **问题背景**: 圣诞节期间，圣诞老人要将M个礼物均匀分配给N个小朋友，每个小朋友的袜子被视为无序且相同。问题目标是计算所有可能的礼物分配方式，包括部分袜子空置的情况。 2. **解法一**： - 一种解法是根据题目中提到的“对正整数n进行划分，最大加数不超过m的划分个数”的算法。这里，n代表的是礼物总数，m代表可用的容器（袜子）。这个问题的解决方案实际上就是计算n个物品在m个位置进行划分的方案数，即“组合数”或“二项式系数”。 3. **解法二**： - 这种解法采用递推算法，定义一个动态规划数组d[i][j]，表示将i个礼物分配到j个盒子（包括空盒子）的方法数。递推规则为： - 当j个盒子中有空的（即至少一个盒子未放置礼物），d[i][j] = d[i][j-1]，意味着从剩下的盒子中选择一个作为空盒； - 当j个盒子都不空，d[i][j] = d[i-j][j]，表示从每个盒子中各取一个礼物，直到没有礼物剩余； - 终止条件：d[i][0] = 0 (i>0), d[i][1] = 1 (i>0), 和 d[0][j] = 1 (j>0)。 - 最终的答案为d[M][N]，即表示M个礼物分配到N个袜子（或盒子）的所有方法数。 4. **代码实现**： - 提供的代码片段展示了使用递归方法来解决此问题，通过设置递归函数f(m, n)，并根据递推式f(m, n) = f(m-n, n) + f(m, n-1)来计算不同放置方式。当m等于n或m等于0时，递归结束。 5. **示例**： - 对于输入7个礼物和3个袜子（Sample Input: 7 3），输出的结果是8，表示有8种不同的放法满足题目条件。 这个“9714 圣诞礼物”问题的核心是利用组合数学的技巧来计算物品分配的组合数，通过递归或其他组合方法，找出所有合法的分配方案。理解并掌握这个问题有助于深入理解动态规划和组合计数在实际问题中的应用。