北京理工大学2009级数值分析试题与解答

"本文档包含了北京理工大学2009级数值分析课程的期末考试试题及答案，主要涉及数值分析的基础概念、方法与应用。" 数值分析是一门研究数值计算方法的数学学科，它关注如何在有限精度的计算环境中解决数学问题。这份试卷涵盖了数值分析中的多个核心知识点： 1. **有效数字**：问题1提到了有效数字的概念，指出0.231作为0.229的近似值具有2位有效数字。有效数字是衡量数值精度的指标，通常包括第一个非零数字和其后的所有零和非零数字。 2. **矩阵范数与矩阵乘积**：问题2涉及到矩阵的无穷范数和矩阵乘积的范数不等式，即‖AX‖∞≤‖A‖∞‖X‖∞，这里给出了具体数值。 3. **迭代法的局部收敛性**：问题3讨论了非线性方程求解中的迭代函数，指出当迭代函数的一阶导数的绝对值小于1时，迭代法在有解区间内是局部收敛的。 4. **分段多项式插值**：问题4和5提及了分段多项式，特别是三次样条插值，它保证了函数在指定节点及其间导数的连续性。 5. **插值与差商**：问题6提到了等距节点下的牛顿差商公式，以及拉格朗日插值公式的应用。牛顿差商用于近似导数，而拉格朗日插值则用于构造多项式来逼近给定数据点。 6. **插值公式中的系数**：问题7讨论了拉格朗日插值公式的系数特性，当系数ai(x)满足ai(x) > 1时，计算过程中可能会放大f(xi)的误差。 7. **近似值的相对误差**：问题8中，为了保持近似值的相对误差小于0.1%，需要一定的有效数字位数。 8. **线性方程组迭代法**：问题9涉及线性方程组的迭代解法，指出当矩阵(B)的谱半径小于1时，迭代公式会收敛于方程组的精确解。 9. **数据插值与多项式次数**：问题10和11给出了数据点，讨论了最高可得到的插值多项式的次数，以及牛顿下山法的下山条件，即函数值的减小。 10. **松弛迭代法**：问题12解释了松弛迭代法的基本思想，通过逐步减少残差来逼近线性方程组的解。 11. **非线性方程求解的初始点选择**：问题13指出，在存在唯一解且函数二阶导数不变号的情况下，选取初始点x0的策略与函数的符号变化有关。 这些试题和答案揭示了数值分析课程的重点，包括误差分析、插值理论、迭代法、矩阵运算以及非线性方程的求解。掌握这些知识点对于理解和应用数值方法解决实际问题至关重要。