SVM原理详解：非线性映射与间隔最大化

SVM（支持向量机）是一种强大的有监督学习模型，主要用于模式识别、分类和回归分析。它在90年代中期随着统计学习理论的发展而兴起，通过寻找结构化风险最小化的方法，旨在提升学习模型的泛化能力。SVM的核心在于将原始的非线性问题通过非线性映射（p）转换到高维特征空间，使得原本在低维不可分的问题变得线性可分，这一过程被称为升维和线性化。 在SVM原理中，关键部分包括： 1. 软间隔最大化：SVM的核心思想是最大化支持向量（那些位于决策边界两侧且距离边界最近的样本点）到分隔超平面的距离。这样做可以确保模型的鲁棒性，即使存在噪声或部分样本被错误分类，也能保持较好的预测性能。 2. 拉格朗日对偶：为了处理实际问题中的非理想情况（即不是所有样本都能被完美分隔），引入拉格朗日乘子，形成拉格朗日函数，将原问题转化为求解拉格朗日函数的极大值，这称为软间隔最大化。 3. 最优化问题求解：SVM的目标函数是最大化间隔，但受约束于样本点必须落在超平面的正确一侧。目标函数为： [间隔^2 / (2 * C)] - ∑(ξ_i)，其中ξ_i 表示误分类误差项，C 是惩罚参数，控制了对误分类容忍度的影响。 4. 核函数：SVM使用核函数，如线性核、多项式核或径向基函数（RBF）核，避免了直接计算高维映射的复杂性。核函数使得SVM能够在没有显式计算高维映射的情况下工作，降低了维数灾难的风险。 5. 序列最小优化（Sequential Minimal Optimization, SMO）：对于大型数据集，SVM采用SMO算法，这是一种迭代方法，通过选取两个支持向量进行局部更新，逐步优化模型参数，提高了计算效率。 6. 目标函数和约束条件：SVM的目标函数为带惩罚项的间隔最大化，形式为 [1/2 * w^T * w - 1/C * Σ(yi * xi)]，其中w是权重向量，y是类别标记。约束条件是所有样本点到超平面的距离都大于等于1（对于二分类）或者其绝对值大于等于1-C*ξ_i（考虑软间隔）。 通过以上步骤，SVM能够构建出在小样本情况下依然具有良好预测性能的模型，特别适用于解决非线性问题，并且保持了高效的计算效率。