球域Bezier曲面边界解析与多项式逼近研究

"这篇论文是2008年发表在浙江大学学报(工学版)上的，由胡青青和王国瑾共同撰写，探讨了球域Bezier曲面的精确边界及其多项式逼近方法。该研究旨在全面控制产品表面与理论曲面之间的偏差，通过引入球域Bezier曲面的概念，这是对圆域Bezier曲线在三维空间的扩展。论文基于经典微分几何中的包络原理，利用球面参数坐标和Cramer法则，推导出球域Bezier曲面的精确边界表达式。此外，通过Legendre多项式的正交性，论文提出了球域Bezier曲面精确边界的最佳平方逼近方法，并利用Legendre基与Bernstein基的转换，实现了在CAD系统中用Bezier形式表示近似边界。这种方法简便易行，通过实例验证，显示出了较小的逼近误差和良好的逼近效果。关键词包括：外形检测、球域Bezier曲面、包络、边界和Legendre多项式。" 这篇论文主要涵盖了以下几个关键知识点： 1. **球域Bezier曲面**：这是对圆域Bezier曲线在三维空间的一种扩展，用于更精确地描述和控制复杂曲面的形状，特别是在产品设计和制造中。 2. **经典微分几何中的包络原理**：在曲面理论中，包络原理用于确定由一族曲面形成的边界或包络线。在这里，它被用来计算球域Bezier曲面的精确边界。 3. **球面参数坐标与Cramer法则**：球面参数坐标是描述三维球面上点位置的一种方式，而Cramer法则在代数几何中用于求解线性系统的解，此处它们结合在一起用于得到曲面边界的数学表达。 4. **Legendre多项式的正交性**：这是函数逼近论中的一个重要概念， Legendre多项式在特定区间内具有正交性质，论文利用这一性质来构造多项式形式的边界逼近。 5. **Bernstein基与Legendre基的转换**：在计算机辅助设计（CAD）中，Bezier曲线和曲面通常用Bernstein基函数表示，而论文通过转换公式将Legendre多项式的结果转化为这种常见形式，使得在实际应用中更容易实现。 6. **多项式逼近**：通过最佳平方逼近，论文找到了一种有效地用多项式表示球域Bezier曲面精确边界的算法，这种方法简便且计算效率高。 7. **逼近误差与效果分析**：论文通过具体实例展示了算法的逼近效果，证实了其在保持低误差的同时，能够达到良好的逼近性能。 这篇研究对于理解和优化CAD系统中的曲面建模，尤其是在精度控制和误差分析方面，具有重要的理论和实践意义。