三元域F3上三次四次剩余码幂等生成元表达式与生成多项式

本篇论文主要研究的是三元域上三次和四次剩余码的幂等生成元问题。在通信系统中，为了增强信息传输的可靠性，循环码，特别是二次剩余码因其纠错能力而被广泛应用。二次剩余码是循环码的一种特殊形式，它的理论研究具有重要意义。论文引用了文献[1]，其中详细讨论了二元域F2上四种二次剩余码的关系，给出了它们的幂等生成元，这对于理解和构造这类码至关重要。 然而，对于有限域Fq上的高次剩余码，如三次和四次剩余码，其生成多项式都是多项式xn-1的因数。然而，找到这些码需要在有限域上分解xn-1，当n较大时，这个过程非常复杂。为了绕过这个问题，文献[6]提出了一个解决方案：通过确定幂等生成元，可以直接计算这些生成元与xn-1的最大公因式来得到生成多项式，无需分解整个xn-1。 针对三元域F3，由于其性质不同于二元域，许多二元域上适用的结果在三元域上可能不成立。因此，论文的作者采用不同于文献[6]的方法，针对三元域的特点，研究并给出了三元域上三次和四次剩余码的幂等生成元的表达式。这种表达式的确定是一项挑战，因为它需要对三元域的特定性质有深入的理解，并且依赖于预备知识，例如对模p的t次剩余概念和相关引理的掌握。 预备知识部分介绍了方程xt³(modp)有解时，3被称为模p的t次剩余，以及当t能整除(p-1)时，3必然是模p的t次剩余的性质。这些概念在证明三元域上的幂等生成元表达式时起到了关键作用。 这篇论文的核心内容是三元域F3上三次和四次剩余码幂等生成元的求解策略，它不仅提升了编码效率，还为处理大阶循环码的生成提供了有效的数值方法。通过这些生成元，研究人员可以更有效地设计和分析这类码的性能，从而在实际通信系统中实现更高的数据传输准确性和可靠性。