连续时间系统的零状态响应分析

"零状态响应yf(t)-信号与系统" 在信号与系统领域中，零状态响应（Zero-Status Response, ZSR）是指当系统在初始时刻处于静止状态，即所有状态变量都为零时，由于外部激励引起的系统响应。在给定的描述中，我们关注的是一个二阶线性常系数微分方程： \[ y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 2\delta(t) + 6u(t) \] 这里的 \( y(t) \) 是系统的输出，\( y'(t) \) 和 \( y''(t) \) 分别是其一阶和二阶导数，\( \delta(t) \) 是单位冲激函数，\( u(t) \) 是单位阶跃函数。这个微分方程描述了系统动态行为。 解决这样的微分方程，通常采用系数匹配法，即寻找一个特解，该特解形式与激励函数相匹配，并且加上齐次解，以满足整个方程。齐次解是由齐次微分方程决定的，与激励无关，代表系统自然状态下的响应。特解则是针对非齐次项（本例中的 \( 2\delta(t) + 6u(t) \)）设计的，反映了外部激励对系统的影响。 齐次解的求解通常涉及特征方程。对于上述方程，特征方程为： \[ r^2 + 3r + 2 = 0 \] 解得特征根 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)，它们决定了齐次解的形式。在本例中，如果特征根是两个不同的实数，则齐次解为： \[ y_h(t) = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t} \] 特解的确定需要考虑非齐次项的性质。对于单位冲激函数 \( \delta(t) \)，特解可以是常数 \( A \)；对于单位阶跃函数 \( u(t) \)，特解可以是 \( At \)。将这些形式代入原方程并求解待定系数 \( A \)，可以得到特解 \( y_p(t) \)。 然后，将齐次解和特解组合成全响应 \( y(t) \)： \[ y(t) = y_h(t) + y_p(t) \] 最后，通过初始条件（如 \( y(0) \) 和 \( y'(0) \)）来确定齐次解中的积分常数 \( C_1 \) 和 \( C_2 \)。 在给定的【部分内容】中，有一个具体的例子展示了如何解一个二阶微分方程。例子中的特征方程为 \( r^2 + 5r + 6 = 0 \)，得到特征根 \( λ_1 = -2 \) 和 \( λ_2 = -3 \)，进而构建齐次解。对于不同的非齐次项 \( f(t) \)，如常数 \( 2 \) 或者 \( e^{2t} \)，分别设置了特解的形式，并通过待定系数法确定了特解的参数。通过初始条件确定了积分常数，从而得到了最终的全响应。 总结起来，零状态响应是系统分析中的一个重要概念，它揭示了系统对外部瞬时或持续激励的动态响应，而这种响应是通过解微分方程并结合初始条件来求得的。在实际应用中，理解和计算零状态响应对于设计和分析控制系统、滤波器等至关重要。