几何分布收敛与随机变量性质：从几何到指数，再到泊松分布

本资源是一份关于概率论的习题集，包含多个不同难度和类型的题目。让我们逐一解析每个知识点： 1. 题目要求证明几何分布随机变量 \( X \) 的序数统计量 \( X_n \) 当 \( n \) 趋向于无穷大时，依分布收敛于参数为 \( p \) 的指数分布的随机变量 \( Z \)。这涉及了极限分布理论，即当一个随机过程的某个统计量随着样本数量增加而稳定于某个已知分布时的性质。 2. 第二题涉及到独立同分布随机变量序列的线性组合，要求证明 \( K_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{n}}(X_i - \mu) \) 的期望值，通过展开和应用独立随机变量的期望乘积性质来得到结果。 3. 对于均匀分布随机变量 \( X_1, X_2, ..., X_n \) 的极差和均值之差的协方差，\( Cov(X_{(1)}, X_{(n)}) \) 的计算是基于随机变量的分布性质和随机排序的统计特性。 4. 关于概率密度函数 \( f(x|s) \) 的随机变量 \( X \) 和泊松分布随机变量 \( Y \) 的关系，当 \( s \to +\infty \) 时，研究 \( E(e^{itY}) \) 的极限，以及这个期望值与标准正态分布的关系，涉及到随机变量间的变换和极限分布定理。 5. 要求计算二维随机变量 \( (X,Y) \) 在特定区域上均匀分布时的自相关系数 \( \rho \)，这需要了解随机变量在区域上的分布以及它们之间的统计依赖性。 6. 针对简单随机样本，当总体三阶中心矩为零且四阶矩存在时，研究样本均值和样本方差的相关系数，这是经典的大样本理论中的内容，用于评估均值估计的精度。 7. 提供了三个独立的几何分布随机变量的联合概率问题，要求证明某些特定事件的概率不等式，涉及多变量概率和独立性的验证。 8. 最后一个问题要求证明两个独立指数分布随机变量的和与它们的商独立，这是随机变量独立性的一个典型证明，通常涉及概率密度函数的乘积与各自独立概率密度函数的乘积进行比较。 9. 最后给出了Jensen不等式的证明，该不等式对于凸函数具有普遍意义，表明函数的期望值总是位于其图像下方，当函数是对数或其他特定类型时，这个性质尤为重要。 这些习题覆盖了概率论中的基本概念、随机变量的分布、极限分布、线性组合的期望、协方差计算、分布函数的性质、随机变量独立性的证明以及凸函数的性质等核心知识点。理解和解答这些题目有助于深入理解概率论的基本原理和实际应用。