改进MGS法与分治策略：并行求解线性方程组的新型算法

本文主要探讨的是线性方程组在大规模计算中的并行求解方法。作者曾宪雯，来自中国工程物理研究院研究生部，针对处理大型线性方程组的挑战，提出了一个创新的解决方案。这个新方法结合了改进后的MGS（矩阵分块高斯消元法）正交约化技术和分治策略。MGS是一种经典的数值线性代数方法，用于将线性系统转化为更易处理的形式，而分治策略则将其分解为较小的子问题，以便在多处理器系统上并行处理。 论文的核心内容是设计了一种并行数值算法，可以同时求解任意相容性线性方程组的通解（所有解的集合）以及不相容性线性方程组的最小二乘解（满足误差平方和最小的近似解）。这种方法对于现代高性能计算机特别是MIMD（Multiple Instruction Multiple Data，多指令流多数据流）架构，如分布式存储模型或分布共享存储模型，具有重要的应用价值。通过这种方式，可以显著减少计算时间，提高效率。 在算法实现上，文章详细分析了这种并行方法的复杂性，即在多处理器环境中执行任务所需的计算步骤数量和资源消耗。这包括考虑了数据通信开销、同步问题以及并行度的选择对整体性能的影响。此外，数值稳定性也是关键考虑因素，确保算法在实际应用中能够提供准确的结果，即使面对数值误差也能够保持收敛。 最后，论文深入研究了基于MIMD模型的消息传递并行算法设计。这意味着在多处理器系统中，各个处理单元之间的信息交换是通过消息传递来协调的。设计出有效的消息传递规则至关重要，它能够优化通信效率，减少数据冗余，并且确保并行操作的一致性和正确性。 这篇论文为解决大型线性方程组的并行求解提供了一个新颖且实用的框架，不仅提升了计算效率，而且展示了在分布式和共享存储环境下进行数值计算的潜力。这对于优化计算密集型任务，尤其是在科学计算、信号处理和机器学习等领域，具有显著的实际意义。