PCA与白化数据预处理详解

"PCA(主成分分析)和白化是数据预处理中的重要技术，用于减少数据维度并去除变量间的相关性。PCA通过线性变换找到数据的主要成分，白化则是进一步使数据变为标准正态分布，降低复杂度。本文介绍了PCA的基本原理，包括如何通过最小二乘法确定线性关系以及协方差的概念。" PCA(主成分分析)是一种常用的数据降维方法，其目标是找到数据的新坐标系，使得新坐标轴按照数据方差大小排序，从而保留主要信息，去除噪声。在处理具有高维特性的数据时，PCA能够有效减少数据的维度，同时尽可能保持数据集中的信息。 PCA的步骤如下： 1. **计算协方差矩阵**：首先，我们需要计算数据的协方差矩阵。协方差矩阵描述了数据各个维度之间的关联程度，对角线上的元素代表各自维度的方差，非对角线元素表示各维度间的协方差。 2. **特征值分解**：对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到一组特征值和对应的特征向量。特征值反映了数据在各个主成分方向上的分散程度，而特征向量则指示了这些主成分的方向。 3. **选择主成分**：选取特征值最大的几个特征向量作为新坐标系的基，这些基向量构成的投影就是数据的主要成分。通常，选择使得累积贡献率达到一定阈值的前n个主成分。 4. **数据转换**：将原始数据投影到由这些主成分构成的空间中，得到降维后的数据。 PCA在去除线性相关性时，假设数据已进行了中心化处理，即将所有属性的均值调整为0。这样，协方差矩阵就变成了对称矩阵，可以通过特征值分解求解。 在描述PCA的实现过程中，提到了最小二乘法，这是在寻找线性关系时常用的一种优化方法。当两个变量存在线性关系时，最小二乘法能找出最佳拟合直线，通过计算斜率k来描述变量间的关系。协方差是衡量两个变量共同变化程度的指标，当协方差为0时，表示两个变量线性无关。 此外，白化是PCA的一种延伸，它不仅去除线性相关性，还会进一步将数据标准化，使其在新的坐标系中具有单位方差且各维度间互不相关，即数据被“白化”或“正则化”。这有助于简化后续的机器学习模型训练，因为模型在处理白化后的数据时，不再受特定特征尺度的影响。