双向解析的有限元线法：待定形函数提升精度

"具有待定形函数的有限元线法是一种改进的有限元方法，旨在解决有限元线法中解析方向和离散方向精度不匹配的问题。通过将形函数设为未知并利用能量原理求解，该方法可以实现两个方向上的精度对称，从而提高解的整体质量和精度。在二维Poisson方程的实例中展示了这种方法的算法和应用，证明了其可行性与有效性。该研究由国家杰出青年科学基金资助，并在计算力学学报上发表。" 本文介绍的有限元线法(Finite Element Method of Lines, FEMOL)是一种混合数值分析方法，它结合了解析和离散的特性。传统FEMOL在解决常微分方程时，将解函数分为解析方向和离散方向，其中解析方向是通过常微分方程来确定的，而离散方向则是通过预设的形函数来近似。然而，这种分离可能导致解析方向和离散方向的精度不一致，影响解的总体精度。 为了改善这种情况，袁驷和桂雄飞提出了一种创新的“具有待定形函数的有限元线法”(FEMOL with Undetermined Shape Functions, USF)。在这种方法中，形函数不再预设，而是作为未知量待定。通过能量变分原理，可以构造出关于形函数的常微分方程组，然后求解这些方程以得到更精确的形函数。这使得解在两个方向上的精度得以平衡，提高了整个解的准确性和质量。 在实际应用中，研究者以二维Poisson方程为例，详细阐述了USF的算法步骤和一个具体的计算案例，以此验证新方法的有效性和实用性。这种方法的优势在于，通过优化形函数，可以在不显著增加计算复杂性的前提下，提升解答的精度。 此研究对于有限元方法的发展具有重要意义，因为它提供了一种改进现有线法的策略，可以用于解决更复杂的工程和科学问题，特别是在需要高精度解的情况下。同时，由于这种方法依赖于能量原理，它也加深了我们对能量守恒和变分方法在数值分析中的理解。因此，这种具有待定形函数的有限元线法有望在未来的数值计算领域得到广泛应用。