Maple系统实现Riccati方程自动求解的计算机代数方法

"基于Maple系统的Riccati方程自动求解的实现 (2007年)" 本文主要探讨了如何在计算机代数系统Maple上实现非线性演化方程，特别是Riccati方程的自动化求解。Riccati方程在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用，但由于其非线性特性，手动求解通常非常复杂。作者刘亦斌开发了一个基于Maple的软件包，该软件包采用了非线性代数方程组的吴文俊消元法，大大简化了解题过程。 在传统的手工求解过程中，首先需要进行行波变换，然后通过导数代换，再应用吴文俊消元法来寻找行波解。这种方法的计算量大，限制了其在实际问题中的应用。刘亦斌设计的软件包解决了这个问题，实现了自动化求解的关键步骤： 1. 行波解的阶数推导：软件包中的`find_m_n()`模块负责根据方程的最高阶导数和非线性项确定行波解的阶数（m）。 2. 非线性代数方程组求解：`coeff()`模块生成由行波解系数满足的非线性方程组，然后`sol()`模块利用吴文俊消元法对这些方程进行简化、分组，并求解待定系数，同时可以去除特解，确保解的最优化。 3. 结果输出：`Print()`模块则负责处理求解结果，删除特解和重复解，并以用户友好的格式输出最终的行波解。 这个软件包的实现使得非线性方程（组）的求解过程变得更加高效，提高了研究和应用非线性问题的效率。在Maple系统中，用户只需调用“Dmain畅m”共享包，通过指定参数即可求解非线性演化方程。 此外，文章还强调了软件包的适用范围，包括单个Riccati方程、耦合的Riccati方程以及三耦合的Riccati方程的精确行波解构造。通过这种方式，软件包不仅适用于单一类型的Riccati方程，还能处理更复杂的耦合系统，极大地拓宽了应用领域。 这项工作为非线性方程的计算机辅助求解提供了强大的工具，对于提高科研和教育领域的计算效率具有重要意义。通过Maple系统实现的Riccati方程自动求解软件包，为非线性科学的研究开辟了新的道路，使得科学家和工程师能够更加专注于问题本身，而不是繁琐的计算过程。