数位DP入门：区间统计与避开特定数位问题策略

数位动态规划（Dynamic Programming on Digits, 数位DP）是一种在解决与数位相关的区间统计问题时常用的技术，尤其是在信息学竞赛中。这类问题通常涉及在给定范围内找出满足特定条件的数字数量，通过递推和数位分析来简化计算。 基本思想与方法的核心在于理解每个数位对最终结果的影响。当我们考虑一个小于某个数n的数x，例如n=58（十进制），我们可以观察到x的某一位小于n。例如，x=49时，其十位小于n；x=51时，个位小于n。基于这个特性，数位DP方法是从高位开始枚举，一旦确定了一个位上的数字，后续位的选择就不再受限于n，因为它们可以独立地从0到9选择。 为了实现这个方法，我们首先预处理一个f数组，其中F[i, st]表示位数为i（可能包含前导零）且状态为st的数的数量。状态st根据问题的具体需求来定义。例如，如果i=4，F[i, st]就表示从0000到9999（十进制）中符合条件的数的个数。在填充f数组的过程中，对于第i位，我们考虑所有可能的值0到9，并更新状态： - F[i, st] = F[i, st] + f[i - 1, st'] 这里的st'是根据当前决策（第i位的值）更新的状态。通过这种方式，我们可以逐步构建出所有可能的数，直到达到所需的位数。 以Hdu2089为例，这是一个具体的题目，要求在区间[n, m]内找出没有特定数字（如“62”或“4”）的数的数量。通过预处理f数组并计算[0, m]减去[0, n)中符合条件的数的差，我们可以得到答案。这种方法的关键在于正确设置状态转移和边界条件。 总结来说，数位DP是通过将复杂的问题分解为更小的子问题，并利用状态转移方程来存储中间结果，从而有效地解决区间统计问题。它在处理数位上的限制条件时表现出色，适用于诸如数位上的字符排除、区间内数字的特殊属性检查等任务。熟练掌握这种技巧，可以在信息学竞赛和其他需要处理数位问题的场景中发挥重要作用。