数位DP入门：区间统计与避免特定数字技巧

数位动态规划（Dynamic Programming on Digits, 数位DP）是一种在解决与数字位数相关的区间统计问题时常用的技术。这类问题通常涉及到对特定区间内满足特定条件的整数个数的计算，比如Hdu2089中的例子，需要找出一个范围内没有特定数字序列的整数数量。 在基本概念上，数位DP通常涉及定义状态空间，如[l,r]表示的是范围内的所有整数，其中l和r都包括在内；而[l,r), (l,r], 和 (l,r) 分别代表左闭右开、左开右闭和左开右开的区间。方括号（[]）代表取等，即包含该数字，小括号（()）则表示不取等，即排除该数字。例如，[0,r]-[0,l) 表示从0到r的数减去从0到l的所有数，这对于计算区间内符合条件的数有重要作用。 核心策略是利用递推的方式，从高位开始分析。对于一个整数n，我们可以从高位开始查找第一个小于n的位。一旦这个位置确定，剩下的位数就不再受限于n的具体值，因为我们可以枚举这些位上的所有可能性。这就需要预先计算每个位数状态下的方案数量，存储在一个称为f数组的结构中。f[i, st]表示长度为i的数，且以st（根据题目需求确定的状态）结尾的数中符合条件的个数。 在Hdu2089问题中，预处理f数组是为了计算在给定区间[n, m]内不包含特定数字（62或4）的数的数量。通过递归更新f[i, j]，我们可以得到所有开头为j的i位数中符合条件的数目。最后，答案就是f[m] - f[n-1]，即在区间[m]的范围内去掉以数字n开头的不符合条件的数后的剩余数。 总结来说，数位DP在解决区间统计问题时，通过定义恰当的状态、明确递推规则以及有效的预处理策略，将复杂的问题转化为易于管理的小问题，从而实现高效的解决方案。这种方法在算法竞赛中被广泛应用，尤其是在处理与数位、字符相关的问题时，如Hdu2089所示。理解并掌握数位DP的思想和技巧对于提升算法竞赛水平至关重要。