线性代数习题解析：矩阵秩与方程解的关系

"该资源是一份关于线性代数的复习资料，主要涵盖了矩阵的秩、方程组的解、矩阵的性质以及正定矩阵等内容。通过实例解析了矩阵秩与方程组解的关系，矩阵乘积的性质，以及如何判断矩阵是否可逆和正定。" 线性代数是数学中的一个重要分支，它在计算机科学、工程学和许多其他领域都有广泛的应用。在给定的资源中，主要讨论了以下几个知识点： 1. **矩阵的秩与方程组的解**：一个$m \times n$的矩阵$A$，其秩为$r$，与方程组的解有直接关系。如果矩阵$A$对应的齐次线性方程组无解，意味着矩阵的一些行可以表示为其他行的线性组合，此时秩$r$小于$m$。若方程组有唯一解，则秩$r$等于$n$（列向量线性无关），而给定的方程组可能没有解或有无限多解时，秩$r$小于$n$但大于0。 2. **矩阵的构造**：题目中给出的例子展示了如何构造一个满足特定条件的矩阵。例如，一个$m \times n$矩阵，如果要求其秩为$r$，可以通过选择$r$行线性无关的行来实现。 3. **矩阵乘积的性质**：对于矩阵$A$和$B$，$AB$不一定等于$BA$，除非$A$和$B$都是方阵。给定的资源中提到，如果$A$是方阵，$AA^T = A^TA$总是成立的，这是矩阵乘法的一个重要性质。 4. **矩阵的可逆性**：如果一个矩阵的秩等于它的列数，即矩阵是满列秩的，那么这个矩阵是可逆的。这是因为满列秩意味着矩阵的列向量线性无关，从而可以构成矩阵的逆。 5. **正定矩阵**：正定矩阵是所有特征值都为正的对称矩阵。在资源中，通过举例说明了一个秩不等于自身维度的矩阵不可能是正定的，因为正定矩阵需要满足所有顺序主子式的行列式都是正的。 6. **线性方程组的解**：对于方程$c^T y = A^T x$，当矩阵$A^T$的行向量线性无关时，方程至少有一个解。由于$A$的秩等于$n$，这意味着$A^T$的列向量线性无关，因此方程有无穷多个解。 7. **向量的线性组合**：在例2中，通过解方程组和分析向量的关系，进一步巩固了向量线性组合的概念，以及如何确定线性方程组解的唯一性。 通过这些例子和分析，我们可以更好地理解线性代数中的基本概念，如矩阵的秩、方程组的解法、矩阵的性质及其应用，这对于理解和解决实际问题至关重要。