动态规划与生成函数：拆分整数例题详解

动态规划与生成函数是计算机科学中两个重要的概念，它们在算法设计中常用于解决优化问题和序列处理。在这个文件中，我们看到了两个相关的例题，分别是"整数分割"和计算整数的拆分个数。 首先，"整数分割1"是一个经典的动态规划问题。题目要求找出将一个正整数N拆分成若干个正整数和的不同方法，并按照字典序排列输出。这里采用了下楼梯法或称为回溯法，该方法通过递归地尝试将剩余的整数减去每个可能的子整数，记录可行的拆分组合。例如，当处理数字7时，算法会尝试将7拆成1+1+1+1+1+1+1，6+1，5+2等组合。代码中的`TRI`函数就是实现这一过程的关键部分，它维护了一个数组`take`来存储当前已选择的子整数，然后根据剩余数值递归地调整拆分策略。 接下来是"整数分割2"，这是一道涉及计数问题的动态规划题目。题目要求计算一个整数N的所有拆分数目，而不是列出所有拆分。这可以通过动态规划的思想，建立一个数组来记录每个数的拆分数目。通常，这样的问题可以用一个二维数组来表示，其中每个元素dp[i]表示前i个数字的拆分总数。初始化时，dp[0]为1，表示只有一个空集合的拆分方式；然后遍历每个数，对于每个数n，其拆分方式等于前n-1个数的拆分方式之和加上n本身作为一个单独的数的拆分方式。这里需要使用高精度数据类型`__int64`来存储大整数。 两道题目都展示了动态规划在不同场景下的应用，即一个问题的最优解可以通过子问题的最优解组合得到。同时，生成函数在这类问题中也有所体现，虽然没有直接提到，但求解拆分个数时可以被视为求解一个特殊的生成函数——序列的级数生成函数。这种函数可以用来描述一个序列的通项公式，而动态规划往往能帮助我们找到这样的公式或者计算出特定项的值。 总结来说，这些例题让学习者了解了如何用动态规划的方法解决整数拆分问题，以及如何通过迭代或递归策略生成所有可能的解。同时，通过这些实例，学生可以掌握如何在实际编程中运用这些技术，提升算法理解和问题解决能力。