变分迭代与Chebyshev多项式结合求解非线性分数阶微分方程

"本文提出了一种改进的迭代方法，即结合变分迭代法和Chebyshev多项式来求解非线性分数阶微分方程的数值解，旨在减少计算工作并提高精度。该方法通过选取合适的初始近似值，优化对非齐次项和非线性项的近似，有效处理复杂的积分计算问题。数值实验表明，这种方法在解决此类方程时具有高效性和实用性。" 在数学和工程领域，非线性分数阶微分方程（Fractional Differential Equations, FDEs）是一种重要的工具，用于描述许多物理、化学及工程系统中的非局部和记忆效应。传统的整数阶微分方程无法完全捕捉这些特性，因此分数阶微分方程的研究变得越来越关键。然而，由于分数阶导数的存在，FDEs的求解通常比整数阶微分方程更为复杂和困难。 变分迭代法（Variational Iteration Method, VIM）是一种广义的迭代方法，适用于求解各种类型的常微分方程和偏微分方程，包括线性和非线性方程。它基于泛函分析的变分原理，通过构造一个泛函序列，逐步逼近方程的解。此方法的优点在于不需要进行线性化或傅里叶变换，且对于非线性项的处理较为灵活。 Chebyshev多项式是一种在[-1,1]区间上有界的正交多项式，常用于数值分析中的函数逼近和插值问题。它们在数值解法中扮演着重要角色，特别是在高精度近似和减少计算误差方面。 将变分迭代法与Chebyshev多项式相结合，可以利用Chebyshev多项式的优良性质，如快速收敛和良好的数值稳定性，来提高迭代过程的效率和精度。通过选择适当的初始近似值，可以更好地近似非齐次项和非线性项，从而减少计算工作量，并降低由复杂积分运算引发的计算难题。 数值实验和算例证明了这种改进方法的有效性，展示了在实际应用中，该方法能够准确地求解非线性分数阶微分方程，并且在计算量和精度之间找到了一个平衡点。这对于理论研究和实际工程问题的解决都具有重要意义，尤其是在处理那些涉及分数阶微分模型的复杂系统时。