强相关性下的多项式拟合与优度分析

在本篇关于多项式曲线拟合的文章中，主要讨论了两个关键环节：相关性分析和多项式拟合。 首先，我们探讨了相关性分析。通过观察原始样本数据，散点图显示了U.S.人口数据从1790年到1990年的关系，呈现出较强的线性趋势。协方差矩阵的系数接近于1，这进一步证实了数据之间存在高度正相关性。在统计学中，当两个变量的协方差接近于1，意味着它们的变化方向和强度几乎一致，对于预测和建模非常有利。 接下来，文章介绍了多项式拟合的方法。在进行拟合之前，通常会进行特征缩放，即标准化处理，这是为了确保不同特征维度间的可比性。标准ization（标准化）将数据转换为零均值和单位方差，这对于很多机器学习算法如SVM、逻辑回归和神经网络的输入是非常重要的。在Matlab的CurveFittingTool工具箱中，用户可以选择“Center and Scale”选项来实现这一操作。 在拟合过程中，作者使用了poly2和poly6等高阶多项式进行数据拟合，并提供了代码示例。通过`corrcoef`函数计算了cdate和pop变量之间的相关系数，结果显示两者非常接近1，表明拟合效果良好。此外，拟合优度分析是评估拟合质量的关键指标，包括： 1. SSE（残差平方和）：它衡量了模型预测与实际值之间的差异总和。SSE越小，说明模型对数据的拟合越精确。 2. RMSE（均方根误差或标准差）：这是一种衡量预测误差大小的常用指标，值越小代表预测精度越高。 通过`poly2`拟合的代码片段，可以看到如何准备数据并执行拟合，同时生成了拟合曲线和残差图，这些图可以帮助评估模型的拟合效果和数据剩余变异性。 总结来说，本文介绍了如何通过观察数据的相关性、标准化预处理以及使用多项式拟合方法来分析和解释美国人口数据。同时，通过计算SSE和RMSE等指标，我们可以全面评估多项式拟合的优劣，为后续的数据分析和模型选择提供依据。