平面凸集直径的运动测度积分不等式估计

本文主要探讨的是平面上积分不变量的一个重要理论问题，即在运动测度下两凸集相交的直径的积分性质。研究者涂康针对这一主题，利用了数学中的关键概念，如闭曲线、凸集、全曲率和Blaschké公式。Blaschké公式在这个研究中起到了关键作用，它是描述凸集几何特性的经典工具。 首先，积分几何的核心是研究空间中几何对象的运动测度，这些测度能够揭示几何不变量之间的关系，形成几何上的等式和不等式。在论文中，涂康集中研究的是平面凸集中的特定元素——直径的积分不变性。他通过分析直径在运动测度下的积分，并将其与Blaschké公式建立起联系，得以推导出关于两凸集相交直径积分的上界和下界估计。 Blaschké公式在文中扮演着桥梁角色，它提供了一种量化凸集几何形状的方法，有助于计算和支持线与凸集边缘的关系。支持函数ρ(8)在这个过程中扮演着决定积分行为的角色，它代表了凸集在特定方向上的紧密程度。 论文进一步推广了这个理论，不仅给出了两凸集相交直径积分的边界值，还通过对单个凸集直径的研究，得出了更广泛的结论。这涉及到对闭曲线曲率的计算以及全曲率的概念，这些概念在积分几何中具有基础地位，它们共同构成了研究的基础框架。 整个论文以坐标系xOy为基础，通过射线OR和其垂直线G的运动密度dg的表达式，将几何分析与积分计算相结合，为读者展示了一个精密的理论体系。此外，论文还提供了详细的预备知识，包括积分几何的基本概念和曲线的全曲率定义，以便读者更好地理解和掌握研究内容。 这篇论文不仅深化了我们对平面上积分不变量的理解，而且为处理类似问题提供了有效的数学工具和方法。这对于数学家、工程师和其他应用数学领域的专业人士来说，是一篇极具价值的研究成果。