EM算法详解：极大似然与高斯混合模型应用

EM算法是一种迭代优化方法，常用于统计学和机器学习领域，特别是处理带有隐变量的模型。它最初由A. P. Dempster、N. M. Laird和D. B. Rubin在1977年提出，用于最大似然估计（MLE）问题的求解。在实际应用中，EM算法特别适用于高斯混合模型（GMM），即多个高斯分布组成的概率模型，常用于数据聚类和密度估计。 算法的核心思想在于“期望最大化”（Expectation-Maximization），分为两个主要步骤： 1. **期望（E-step）**：在给定当前模型参数的情况下，计算每个未观测到的隐变量的条件期望。在这个阶段，假设我们知道了每个样本可能属于的类别（尽管真实类别未知），然后根据这些可能性更新每个样本的似然度。 2. **最大化（M-step）**：基于上一步计算的期望值，重新估计模型参数，以最大化整体似然函数。这个过程通常涉及到最大化含有未知隐变量的似然函数的下界，即使这些隐变量本身无法直接估计。 以身高数据为例，如果有两类学生（男生和女生）的身高数据，且每个性别的身高服从高斯分布，但具体参数未知，EM算法可以帮助我们估计这两个高斯分布的参数，即使类别标签并未完全明确。 在更复杂的问题中，如硬币抛掷实验，EM算法可以处理多个类别和复杂的联合分布。通过假设每个样本可能来自两个硬币中的任意一个，并迭代调整每种硬币的参数，以使观察到的结果概率最大化。 当样本的类别标签部分未知时，直接最大似然估计变得困难，因为需要考虑所有可能的类别组合。EM算法通过引入隐变量并交替执行E步和M步，解决了这个问题。这种方法巧妙地将问题转化为更容易处理的形式，即使在计算复杂性增加的情况下也能找到参数的近似最优解。 EM算法是解决复杂概率模型参数估计的有效工具，它在机器学习中尤其有用，尤其是在无监督学习和混合模型中。通过迭代求解，EM算法能够逐步接近全局最优解，为数据分析和模型构建提供了强大的支持。