EM（最大期望算法）算法目标函数推导和求解

最大期望算法（Expectation-Maximization，简称EM算法）是一种求解含有隐变量（latent variable）的概率模型参数的方法，通常应用于无监督学习任务中。它的基本思想是通过观测数据推断潜在变量的分布，然后根据这个分布去最大化数据的似然函数，从而得到最优的模型参数。

下面是EM算法的目标函数推导和求解过程：

1. 目标函数推导

假设我们有一组观测数据 X = {x1, x2, ..., xn}，其中每个观测数据都由一个概率模型生成，但我们并不知道这个模型的参数 θ。我们设计一个隐变量 Z = {z1, z2, ..., zn}，表示每个观测数据对应的模型参数。具体地，我们假设每个观测数据 x 的生成过程如下：

- 首先从先验分布 p(z) 中随机抽取一个隐变量 z。
- 然后根据条件分布 p(x|z,θ) 生成观测数据 x。

我们的目标是找到最优的参数 θ，使得给定观测数据 X，其似然函数 p(X|θ) 最大。由于观测数据中存在隐变量，我们无法直接对似然函数求解。因此，我们采用EM算法来求解。

EM算法的基本思想是：首先根据当前参数 θ 的值，计算隐变量 Z 的期望分布 q(Z)，然后在该分布下最大化完整数据的对数似然函数，得到新的参数值 θ'。重复执行这个过程，直到收敛为止。

具体地，我们定义一个辅助函数 Q(θ,θ')，表示在当前参数 θ 的情况下，隐变量 Z 的期望对数似然值。即：

Q(θ,θ') = E[log p(X,Z|θ)]|X,θ'

其中 E[·] 表示对隐变量 Z 取期望，期望的计算方式为：

E[log p(X,Z|θ)]|X,θ' = Σ p(Z|X,θ') log p(X,Z|θ)

其中 Σ 表示对所有可能的隐变量取和，p(Z|X,θ') 表示在给定观测数据 X 和当前参数 θ' 的情况下，隐变量 Z 的后验概率分布。

我们可以将 Q(θ,θ') 写成如下形式：

Q(θ,θ') = Σ p(Z|X,θ') log [p(X,Z|θ) / p(Z|X,θ')]

根据贝叶斯公式，我们有：

p(X,Z|θ) = p(Z|X,θ) p(X|Z,θ)

将其代入 Q(θ,θ')，我们可以得到：

Q(θ,θ') = Σ p(Z|X,θ') [log p(X|Z,θ) + log p(Z|X,θ') - log p(Z|X,θ')]

化简后，我们可以得到：

Q(θ,θ') = Σ p(Z|X,θ') log p(X|Z,θ) + H(p(Z|X,θ'))

其中 H(p(Z|X,θ')) 表示隐变量 Z 的后验分布的熵，是一个常数。

我们的目标是最大化辅助函数 Q(θ,θ')，即：

θ' = argmax Q(θ,θ')

2. 目标函数求解

我们采用迭代算法来求解最大化辅助函数 Q(θ,θ') 的参数 θ'。具体地，我们先随机初始化参数 θ0，然后执行如下迭代过程：

E步：计算隐变量 Z 的后验分布 p(Z|X,θk)，即：

p(Z|X,θk) = p(X,Z|θk) / p(X|θk)

M步：最大化辅助函数 Q(θ,θ')，求解新的参数 θk+1，即：

θk+1 = argmax Q(θ,θk)

对于 M 步的最大化过程，可以采用梯度上升等优化算法进行求解。

重复执行 E 步和 M 步，直到参数收敛为止。最终得到的参数即为最优参数 θ*，使得观测数据的似然函数 p(X|θ*) 最大。