非均匀网格下二阶空间偏导数离散格式的校正与分析

"本文主要讨论了在非均匀网格下，如何使用二阶空间离散格式来处理二阶空间偏导数的问题。作者孙亮通过坐标变换将物理空间的非均匀网格转化为计算域内的均匀网格，以此提高数值计算的精度。文章指出Orlandi在其著作中的一个关于中心差分格式精度的数值实验存在错误，并提供了修正后的完整推导。" 在流体动力学的数值计算中，尤其是在处理复杂区域内的流动问题时，计算网格往往会在边界附近变得不规则和变形，这降低了数值计算的精度。传统的均匀网格可以保证二阶精度的二阶空间导数离散，但在非均匀网格上则只能达到一阶精度。为了解决这个问题，研究人员常常利用坐标变换，将非均匀的物理空间转换为计算空间，在这个新空间内，网格是均匀的，有助于提升计算精度。 Orlandi的工作重点在于发展不可压缩Navier-Stokes方程的二阶中心差分格式的数值求解方法。尽管这种方法在实际应用中表现出高于同阶格式的计算精度，但Orlandi未提供充分的理论证明，且其关于中心差分格式优势的数值实验结果被本文指出存在错误。 本文首先介绍了坐标变换的概念，通过引入变量ξ和相应的均匀网格，将非均匀的x网格转换为均匀的ξ网格。变换函数f(x, ξ)用于连接这两个空间。然后，作者详细探讨了在新坐标系下，如何使用二阶空间离散格式来近似物理空间中的二阶偏导数，如\( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \)。 作者指出，对于二阶空间偏导数，存在两种数学上等价的表示方式，它们在中心差分的三点格式下都能保持二阶精度。然而，Orlandi的数值实验结果并不准确。本文通过严谨的数学推导和数值实验，修正了这一错误，展示了正确的理论与数值结果的一致性。 总结来说，这篇论文对非均匀网格下二阶空间离散格式的处理进行了深入研究，纠正了已有的错误理解，并强调了采用坐标变换和简单的差分离散格式在保证数值精度的同时，还能降低计算复杂性和成本。这对于提高复杂区域流动问题的数值模拟精度具有重要意义。