吉林大学ACM模板库：代码与算法指南

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"该资源是吉林大学ACM/ICPC竞赛团队分享的代码库，包含丰富的算法模板，适合ACM入门学习者。" 本文将详细阐述这个ACM模板库中的关键知识点，涵盖图论、网络流和数据结构等多个领域。在图论部分，模板库包含了各种经典算法的实现。例如，DAG的深度优先搜索（DFS）用于标记路径，无向图的桥查找算法可以识别关键连接，无向图连通度计算确定图的连通性，最大团问题利用动态规划和DFS寻找最大子集。此外，欧拉路径算法解决了起点到终点路径遍历所有边的问题，DIJKSTRA算法有两种实现，分别是O(N^2)的数组版本和O(E*LOGE)的优化版本，用于求解单源最短路径。BELLMAN-FORD算法可处理负权边，找出单源最短路，SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）提供了一种更快速的近似解决方案。对于第K短路，模板库提供了DIJKSTRA和A*两种方法。PRIM算法用于构建最小生成树，次小生成树和最小生成森林问题则分别探讨了不同的树构造策略。有向图的最小树形图和MINIMAL STEINERTREE算法关注的是特定条件下的树形结构。TARJAN算法用于识别强连通分量，弦图的判断和完美消除序列表示了图的特殊性质。稳定婚姻问题通过O(N^2)算法解决配对问题，拓扑排序则用于无环有向图的顺序排列。无向图和有向图的连通分支以及有向图的强连通分支检测有助于理解图的结构。有向图的最小点基算法和FLOYD求最小环是图的其他重要特性。在网络流领域，模板库涵盖了二分图匹配的三种实现：匈牙利算法的DFS和BFS版本，以及HOPCROFT-CARP和KUHN-MUNKRAS算法。无向图最小割和有上下界最小(最大)流问题解决了流量分配问题。DINIC和HLPP算法分别以不同的时间复杂度实现最大流。最小费用流问题有O(V*E*F)和O(V^2*F)两种解决方案，同时，最佳边割集、最佳点割集、最小边割集和最小点割集（点连通度）则关注在网络流中找到最具效率的分割方式。最小路径覆盖和最小点集覆盖问题则涉及图的覆盖优化。在数据结构部分，模板库提供了求解特定日期对应星期的功能，以及其他实用的数据结构操作。这个吉大ACM模板库是学习和实践图论算法、网络流问题以及数据结构的理想资源，对于准备ACM竞赛或提升编程技能的开发者具有极高价值。

吉林大学 ACM Group

| Minimal Steiner Tree

| G(V, E), A是V的一个子集, 求至少包含A中所有点的最小子树.

| 时间复杂度: O(N^3 + N * 2^A * (2^A + N))

| INIT: d[][]距离矩阵; id[]置为集合A中点的标号;

| CALL: steiner(int n, int a);

| main()函数解决的题目: Ticket to Ride, NWERC 2006/2007

| 给4个点对(a1, b1) ... (a4, b4),

| 求min(sigma(dist[ai][bi])),其中重复的路段只能算一次.

| 这题要找出一个steiner森林, 最后要对森林中树的个数进行枚举

\*==================================================*/

#define typec int // type of cost

const typec inf = 0x3f3f3f3f; // max of cost

int vis[V], id[A]; //id[]: A中点的标号

typec d[V][V], dp[1<<A][V];//dp[i][v]: 点v到点集i的最短距离

void steiner(int n, int a){

int i, j, k, mx, mk, top = (1 << a);

for (k = 0; k < n; k++) for (i = 0; i < n; i++)

for (j = 0; j < n; j++)

if (d[i][j] > d[i][k] + d[k][j])

d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];

for (i = 0; i < a; i++) { // vertex: 0 ~ n-1

for (j = 0; j < n; j++)

dp[1 << i][j] = d[j][ id[i] ];

}

for

(i = 1; i < top; i++) {

if ( 0 == (i & (i - 1)) ) continue;

memset(vis, 0, sizeof(vis));

for (k = 0; k < n; k++) { // init

for (dp[i][k] = inf, j = 1; j < i; j++)

if ((i | j) == i &&

dp[i][k] > dp[j][k] + dp[i - j][k])

dp[i][k] = dp[j][k] + dp[i - j][k];

}

for (j = 0; mx = inf, j < n; j++) { // update

for (k = 0; k < n; k++)

if (dp[i][k] <= mx && 0 == vis[k])

mx = dp[i][mk = k];

for (k = 0, vis[mk] = 1; k < n; k++)

if (dp[i][mk] > dp[i][k] + d[k][mk])

dp[i][mk] = dp[i][k] + d[k][mk];

}

int main(void){

int n, a = 8;

// TODO: read data;

steiner(n, a);

// enum to find the result

for (i = 0, b = inf; z = 0, i < 256; b>z ? b=z : b, i++)

for (j = 0; y = 0, j < 4; z += !!y * dp[y][x], j++)

for (k = 0; k < 8; k += 2)

if ((i >> k & 3) == j)

y += 3 << k, x = id[k];

// TODO: cout << b << endl;

return 0;

}

/*==================================================*\

| Tarjan 强连通分量

| INIT: vec[]为邻接表; stop, cnt, scnt置0; pre[]置-1;

| CALL: for(i=0; i<n; ++i) if(-1==pre[i]) tarjan(i, n);

\*==================================================*/

vector<int> vec[V];

int id[V], pre[V], low[V], s[V], stop, cnt, scnt;

void tarjan(int v, int n) // vertex: 0 ~ n-1

{

int t, minc = low[v] = pre[v] = cnt++;

vector<int>::iterator pv;

s[stop++] = v;

for (pv = vec[v].begin(); pv != vec[v].end(); ++pv) {

if(-1 == pre[*pv]) tarjan(*pv, n);

if(low[*pv] < minc) minc=low[*pv];

}

if(minc < low[v]) {

low[v] = minc; return;

}

do {

id[t = s[--stop]] = scnt; low[t] = n;

} while(t != v);

++scnt; // 强连通分量的个数

}

/*==================================================*\

| 弦图判断

| INIT: g[][]置为邻接矩阵;

| CALL: mcs(n); peo(n);

| 第一步: 给节点编号 mcs(n)

| 设已编号的节点集合为A, 未编号的节点集合为B

| 开始时A为空, B包含所有节点.

| for num=n-1 downto 0 do {

| 在B中找节点x, 使与x相邻的在A集合中的节点数最多,

| 将x编号为num, 并从B移入A.

| }

| 第二步: 检查 peo(n)

| for num=0 to n-1 do {

| 对编号为num

的点x, 设所有编号>num且与x相邻的点集为C

| 在C中找出编号最小的节点y,

| 若C中存在点z!=y, 使得y与z之间无边, 则此图不是弦图.

| }

| 检查完了, 则此图是弦图.

\*==================================================*/

int g[V][V], order[V], inv[V], tag[V];

void mcs(int n){

int i, j, k;

memset(tag, 0, sizeof(tag));

memset(order, -1, sizeof(order));

for (i = n - 1; i >= 0; i--) { // vertex: 0 ~ n-1

for (j = 0; order[j] >= 0; j++) ;

for (k = j + 1; k < n; k++)

if (order[k] < 0 && tag[k] > tag[j]) j = k;

order[j] = i, inv[i] = j;

for (k = 0; k < n; k++) if (g[j][k]) tag[k]++;

}

int peo(int n){

int i, j, k, w, min;

for (i = n - 2; i >= 0; i--) {

j = inv[i], w = -1, min = n;

for (k = 0; k < n; k++)

if (g[j][k] && order[k] > order[j] &&

order[k] < min)

min = order[k], w=k;

if (w < 0) continue;

for (k = 0; k < n; k++)

(g[j][k] && order[k] > order[w] && !g[k][w])

return 0; // no

}

return 1; // yes

}

/*==================================================*\

| 弦图的 perfect elimination 点排列

| INIT: g[][]置为邻接矩阵;

| CALL: cardinality(n); tag[i]为排列中第i个点的标号;

| The graph with the property mentioned above

| is called chordal graph. A permutation s = [v1 , v2,

| ..., vn] of the vertices of such graph is called a

| perfect elimination order if each vi is a simplicial

| vertex of the subgraph of G induced by {vi ,..., vn}.

| A vertex is called simplicial if its adjacency set

| induces a complete subgraph, that is, a clique (not

| necessarily maximal). The perfect elimination order

| of a chordal graph can be computed as the following:

\*==================================================*/

procedure maximum cardinality search(G, s)

for all vertices v of G do

set label[v] to zero

end for

for all i from n downto 1 do

choose an unnumbered vertex v with largest label

set s(v) to i{number vertex v}

for all unnumbered vertices w adjacent to vertex v do

increment label[w] by one

end for

end procedure

int tag[V], g[V][V], deg[V], vis[V];

void cardinality(int n)

{

int i, j, k;

memset(deg, 0, sizeof(deg));

memset(vis, 0, sizeof(vis));

吉林大学 ACM Group

for (i = n - 1; i >= 0; i--) {

for (j = 0, k = -1; j < n; j++) if (0 == vis[j]) {

if (k == -1 || deg[j] > deg[k]) k = j;

}

vis[k] = 1, tag[i] = k;

for (j = 0; j<n; j++)

if (0 == vis[j] && g[k][j]) deg[j]++;

}

/*==================================================*\

| 稳定婚姻问题 O(n^2)

\*==================================================*/

const int N = 1001;

struct People{

bool state;

int opp, tag;

int list[N]; // man使用

int priority[N]; // woman使用, 有必要的话可以和list合并，

以节省空间

void Init(){ state = tag = 0; }

}man[N], woman[N];

struct R{

int opp; int own;

}requst[N];

int n;

void Input(void);

void Output(void);

void stableMatching(void);

int main(void){

//...

Input();

stableMatching();

Output();

//...

return 0;

}

void Input(void){

scanf("%d\n", &n);

int i, j, ch;

for( i=0; i < n; ++i ) {

man[i].Init();

for( j=0; j < n; ++j ){ //按照man的意愿递减排序

scanf("%d", &ch); man[i].list[j] = ch-1;

}

for( i=0; i < n; ++i ) {

woman[i].Init();

for( j=0; j < n; ++j ){ //按照woman的意愿递减排序，

但是，存储方法与man不同！！！！

scanf("%d", &ch); woman[i].priority[ch-1] = j;

}

void stableMatching(void){

int k;

for( k=0; k < n; +k ){

int i, id = 0;

for( i=0; i < n; ++i )

if( man[i].state == 0 ){

requst[id].opp =

man[i].list[ man[i].tag ];

requst[id].own = i;

man[i].tag += 1; ++id;

}

if( id == 0 ) break;

for( i=0; i < id; ++i ){

if( woman[requst[i].opp].state == 0 ){

woman[requst[i].opp].opp =

requst[i].own;

woman[requst[i].opp].state = 1;

man[requst[i].own].state = 1;

man[requst[i].own].opp =

requst[i].opp;

}

else{

if( woman[requst[i].opp].priority[ woman[requst[i].o

pp].opp ] >

woman[requst[i].opp].priority[requst[i].own] ){ //

man[ woman[requst[i].opp].opp ].state = 0;

woman[ requst[i].opp ].opp =

requst[i].own;

man[requst[i].own].state = 1;

man[requst[i].own].opp =

requst[i].opp;

}

void Output(void){

for( int i=0; i < n; ++i ) printf("%d\n", man[i].opp+1);

}

/*==================================================*\

| 拓扑排序

| INIT:edge[][]置为图的邻接矩阵;count[0…i…n-1]:顶点i的入度.

\*==================================================*/

void TopoOrder(int n){

int i, top = -1;

for( i=0; i < n; ++i )

if( count[i] == 0 ){ // 下标模拟堆栈

count[i] = top; top = i;

}

for( i=0; i < n; ++i )

if( top == -1 ) { printf("存在回路\n"); return ; }

else{

int j = top; top = count[top];

printf("%d", j);

for( int k=0; k < n; ++k )

if( edge[j][k] && (--count[k]) == 0 ){

count[k] = top; top = k;

}

/*==================================================*\

| 无向图连通分支(dfs/bfs 邻接阵)

| DFS / BFS / 并查集

\*==================================================*/

/*==================================================*\

| 有向图强连通分支(dfs/bfs 邻接阵)O(n^2)

\*==================================================*/

//返回分支数,id返回1..分支数的值

//传入图的大小n和邻接阵mat,不相邻点边权0

#define MAXN 100

void search(int n,int mat[][MAXN],int* dfn,int* low,int

now,int& cnt,int& tag,int* id,int* st,int& sp){

int i,j;

dfn[st[sp++]=now]=low[now]=++cnt;

for (i=0;i<n;i++)

if (mat[now][i]){

if (!dfn[i]){

search(n,mat,dfn,low,i,cnt,tag,id,st,sp);

if (low[i]<low[now])

low[now]=low[i];

}

else if (dfn[i]<dfn[now]){

for (j=0;j<sp&&st[j]!=i;j++);

if (j<cnt&&dfn[i]<low[now])

low[now]=dfn[i];

}

if (low[now]==dfn[now])

for (tag++;st[sp]!=now;id[st[--sp]]=tag);

}

int find_components(int n,int mat[][MAXN],int* id){

int ret=0,i,cnt,sp,st[MAXN],dfn[MAXN],low[MAXN];

for (i=0;i<n;dfn[i++]=0);

for (sp=cnt=i=0;i<n;i++)

if (!dfn[i])

search(n,mat,dfn,low,i,cnt,ret,id,st,sp);

return ret;

}

//有向图强连通分支,bfs邻接阵形式,O(n^2)

//返回分支数,id返回1..分支数的值

//传入图的大小n和邻接阵mat,不相邻点边权0

#define MAXN 100

int find_components(int n,int mat[][MAXN],int* id){

int ret=0,a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],d[MAXN],i,j,k,t;

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