探索机器学习入门算法：线性回归详解与加权技巧

"《机器学习密术：入门算法详解》" 在本文中，我们将深入探讨机器学习的基础算法之一——线性回归，以及如何将其扩展到解决非线性问题。首先，"线性"的概念被定义为函数形式 \( f(\mathbf{x}) = \mathbf{a}^\top \mathbf{x} + b \)，其中自变量最高次项为1，线性回归的目标是寻找这条直线来尽可能地拟合给定数据。误差函数的选择至关重要，通常采用均方误差（MSE），即 \( e(\mathbf{a}) = \frac{1}{2}\|\mathbf{X}^\top \mathbf{a} - \mathbf{y}\|_2^2 \)，通过最小化这个函数来优化模型参数。 三种求解线性回归的方法各有特点： 1. **梯度下降法**：基于梯度的方向调整参数向量，每次迭代更新为 \( \mathbf{a}_{t+1} = \mathbf{a}_t - s \cdot \nabla e(\mathbf{a}) = \mathbf{a}_t - s(\mathbf{X}^\top \mathbf{X} \mathbf{a}_t - \mathbf{X}^\top \mathbf{y}) \)，其中 \( s \) 是学习率。这个方法的收敛速度和结果依赖于初始值和步长设置。 2. **极小值点导数为0**：这种方法直接寻找误差函数导数为零的点，即 \( (\mathbf{X}^\top \mathbf{X})\mathbf{a} - \mathbf{X}^\top \mathbf{y} = 0 \)，解得 \( \mathbf{a} = (\mathbf{X}^\top \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^\top \mathbf{y} \)。然而，当特征矩阵 \( \mathbf{X}^\top \mathbf{X} \) 不可逆时，这种方法可能受限。 3. **牛顿法**：利用牛顿迭代公式求解函数零点，将线性回归的优化问题转化为 \( \mathbf{a}_{t+1} = \mathbf{a}_t - \frac{e(\mathbf{a}_t)}{\nabla^2 e(\mathbf{a}_t)} \)，在这个问题中，由于 \( \nabla^2 e(\mathbf{a}) = \mathbf{X}^\top \mathbf{X} \)，牛顿法迭代简化为 \( \mathbf{a}_{t+1} = \mathbf{a}_t - (\mathbf{X}^\top \mathbf{X})^{-1}(\mathbf{X}^\top \mathbf{y}) \)，与极小值点导数为0的方法一致。 此外，文章还提到了**加权线性回归**，这是一种对原始线性回归进行扩展的方法，通过为每个样本分配不同的权重，赋予某些数据点更大的影响力，从而适应不同类型的数据分布不均匀的情况。这在处理噪声较大或重要性各异的观测值时特别有用。 总结来说，本文提供了机器学习中基础的线性回归算法的直观解释，包括其求解原理、误差函数选择以及两种常见的优化方法（梯度下降和牛顿法），同时介绍了加权线性回归这一变体，以便读者能够更好地理解和应用这些算法。