动态规划子序列问题解析：最长公共与上升子序列

"这篇内容主要讨论了动态规划在解决子序列问题中的应用，特别是最长公共子序列（LCS）的递归树分析和优化方法。" 动态规划是一种强大的算法思想，用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。在这个上下文中，"dp之子序列"是指使用动态规划技术来解决与子序列相关的优化问题。 一、最长公共子序列 (LCS) 1. LCS 定义：LCS 是两个字符串 x 和 y 的最长子串，该子串在 x 和 y 中都出现，但不一定连续。 2. 最优子结构：LCS 问题具有最优子结构，即 L(x[1..i], y[1..j]) 可以通过 L(x[1..i-1], y[1..j-1]) 和 L(x[1..i-1], y[1..j]) 或 L(x[1..i], y[1..j-1]) 来计算。 3. 递推公式：c[i, j] = {c[i-1, j-1] + 1, 如果 x[i] = y[j]；max(c[i-1, j], c[i, j-1]), 否则}。 二、重叠子问题 1. 为了有效地使用动态规划，问题必须包含许多重叠子问题，这使得我们可以存储子问题的解决方案，避免重复计算。 2. 记忆化（Memoization）：通过存储已解决子问题的结果来避免重复计算，不是简单地记住信息。 三、解决方法 1. 自底向上的递推：按照 i 和 j 的递增顺序计算 dp[i, j]，只保留相邻两行或一行的空间，降低空间复杂度到 O(min{m, n})。 2. 滚动数组优化：仅保留一行，使用额外变量 x 存储 dp[i-1, j]，简化递推过程。 四、动态规划的初始化 1. 初始化对于动态规划至关重要，确保所有边界条件都被正确处理，特别是初始状态的设置。 五、LCS 模型练习题 1. 提供了两个在线编程题目（HDU1159 和 PKU1936），它们都是基于 LCS 的问题，可以通过理解 LCS 原理和动态规划解决。 六、代码示例 1. 代码片段展示了如何使用 C++ 实现 LCS 的动态规划解法，包括定义 dp 数组，读取输入，以及根据递推公式更新 dp[i, j] 的过程。 总结，这个主题深入探讨了动态规划在求解最长公共子序列问题时的应用，包括其基本概念、递归树分析、重叠子问题的识别，以及空间和时间效率的优化策略。同时，通过实际的编程练习题来巩固理论知识，帮助读者更好地理解和运用动态规划解决实际问题。