集合论与图论期末试题解析：重点概念与计算

"该资源是一份2005年计算机学院秋季学期的集合论与图论课程期末试题及答案，包含了解答问题和填空题两部分，主要涉及集合的运算、图的构造、树的概念、欧拉图的条件、平面连通图的性质等知识点。" 1. 集合的运算：题目要求求解集合A和B的并集与交集的差集AXBΔ。在集合论中，集合的并集表示所有属于A或B的元素组成的集合，交集表示同时属于A和B的元素组成的集合，差集则是属于A但不属于B的所有元素组成的集合。 2. 满射的概念：满射是从集合A到集合B的函数，其特点是B中的每个元素都有至少一个A中的元素映射到它。题目要求计算从含有4个元素的集合A到含有2个元素的集合B的满射个数，这是一个组合问题。 3. 二无关系：在集合A上，反自反关系是指没有元素与自身相关联的关系，而二元关系是指两个元素之间的关系。题目要求求解在A上反自反且无对称性的关系的个数。 4. 无向图的计数：题目中涉及的是无向图的构建，给定顶点数p和条件(1 <= q <= p)，求可以构建的无向图的数量，这涉及到图论中的计数问题。 5. 正则二元树：正则二元树是一种特殊的树结构，其中每个非叶节点恰好有两个子节点。题目询问具有奇数个顶点的正则二元树的叶子数，这涉及到树的性质和递推关系。 6. 欧拉图的条件：欧拉图是指可以从任意顶点出发，经过每条边恰好一次且返回原点的图。题目要求找出使Kmn成为欧拉图的m和n的条件，即m和n的值需满足特定的奇偶性规则。 7. 边通图与生成树：边通图是指图中的任意两个顶点都通过边相连。如果一个图是边通图，则它至少有一个生成树。题目询问边通图G的生成树数量，生成树是图的一个子集，包含了图的所有顶点且没有环。 8. 平面连通图的性质：平面图是指可以画在平面上不相交的边的图。连通图意味着图中任意两个顶点间都有路径相连。题目要求找出具有p个顶点和q条边的平面连通图应满足的边数与顶点数的关系式。 9. 传递闭包：在关系R的基础上，传递闭包是通过R多次应用得到的最大关系，使得如果aRb且bRc，则aRc。题目要求求解关系R的传递闭包。 10. 循环置换与对换：在群论中，置换可以表示为循环或对换的形式。题目要求将给定的置换表示为循环置换和对换的乘积。 11. 矩阵表示：题目给出了一组矩阵，可能与图的邻接矩阵相关，邻接矩阵用于表示图中节点之间的连接关系。 这些题目涵盖了集合论的基本概念和图论的核心知识点，是理解和应用这些理论的良好实践。