天津大学2010年运筹学考研真题解析

"天津大学2010年运筹学考研真题" 这篇资料是关于天津大学2010年研究生入学考试运筹学科目的试题，主要涉及线性规划及其相关知识点。运筹学是应用数学的一个分支，它利用优化方法解决实际问题，尤其在管理科学、工程设计等领域有着广泛的应用。 一、线性规划基础 线性规划是一种求解最大值或最小值的数学模型，其目标函数和约束条件都是线性的。题目中第一部分要求证明两个可行解的线性组合仍然是可行解，并要求写出原问题的对偶模型。线性规划的对偶理论是运筹学中的核心内容，它揭示了原问题与对偶问题之间的关系，如强对偶性、互补松弛性等。 1. 可行解的线性组合性质：如果X1和X2都是线性规划问题(P)的可行解，那么对于任何λ1, λ2属于[0,1]，λ1X1 + λ2X2也是(P)的可行解。这是线性规划可行域的凸性所决定的。 2. 对偶模型：线性规划的对偶问题是由原问题的目标函数和约束条件变换得到的另一个线性规划问题，通常用于求解原问题的下界或者提供其他优化信息。原问题的对偶模型形式如下： Minimize w = b'y s.t. A'y >= c y >= 0 其中，y是新的决策变量，b'是原问题的右端常数向量，c是原问题的目标函数系数向量，A是原问题的系数矩阵。 二、线性规划的最优解与对偶问题的关系 第二部分涉及线性规划的最优解与对偶问题最优解之间的关系，包括弱对偶性和强对偶性定理。 1. 弱对偶性：在满足某些条件下，原问题的最优解的值不会超过对偶问题的最优解，即z* ≤ z'*。 2. 强对偶性：如果原问题和对偶问题都可行且满足某些标准（如Slater条件），则它们的最优解相等，即z* = z'*。 三、单纯形法求解线性规划 第三部分涉及使用单纯形法求解线性规划的具体问题。单纯形法是一种求解线性规划的标准方法，通过迭代过程找到最优解。题目要求确定最终表中的系数值，并分析在某些参数变化时最优解或最优基是否保持不变。 1. 确定系数值：根据单纯形法的迭代规则，可以计算出最终表中的系数a, b, c的值。 2. 变量范围分析：分析t的变化如何影响最优解，这涉及到检验边界点是否仍然满足最优性条件。 3. 基的稳定性：研究t的取值范围，以确定何时最优基保持不变，这有助于理解线性规划的稳定性和敏感性分析。 四、资源分配问题 最后一部分是关于资源分配的线性规划问题，目标是最大化总收益，同时满足原料限量和消耗系数的约束。这类问题通常可以通过建立线性规划模型来解决，确定每种产品的最佳产量。 1. 建立模型：将原料成本、消耗系数和产品价格转化为线性规划的系数，设定适当的决策变量（产品产量），然后设置约束条件（原料限量）。 2. 求解：运用线性规划求解方法（如单纯形法）找出最优解，即最大化总收益的产量组合。 3. 分析：通过敏感性分析确定原料价格或限量变化时，最优解的稳定性。 总结来说，这份试题涵盖了线性规划的基本概念、对偶理论、解的性质、求解方法以及实际应用，全面地测试了考生对运筹学的理解和应用能力。