优化算法解密：梯度下降与随机梯度下降详解

梯度下降（Gradient Descent）与随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）是两种在机器学习和深度学习中广泛应用的优化算法。它们的目标都是通过迭代的方式最小化损失函数（Loss Function），从而找到最优模型参数θ⋆\theta^{\star}θ⋆。 梯度下降： - 算法原理：梯度下降的核心思想是沿着损失函数的负梯度方向更新参数，即θt+1 = θt - η * ∇L(θt)，其中θt\theta_tθt​表示当前参数，η\etaη是学习率，∇L(θt)\nabla L(\theta_t)∇L(θt​)是损失函数在该点的梯度，表示函数增加最快的方向。 - 参数向量：参数θ\thetaθ通常是一个向量，可能包含多个参数，例如θ=[θ1,θ2]^T\theta=[\theta_1,\theta_2]^Tθ=[θ1​,θ2​]T。 - 学习率选择：学习率ηηη控制着每次迭代的步长，如果过小，可能导致收敛速度慢；过大则可能导致震荡甚至发散。理想的状况是找到一个既能快速接近极值又保证收敛稳定的值。 随机梯度下降（SGD）： - 简化版本：SGD在每次迭代时只随机选取部分样本来计算梯度，而非所有样本，这使得计算更高效，适用于大规模数据集。数学表达式为θij+1 = θij - η * ∇L(θij; xi), 其中(xi)\xi​是随机抽取的一个样本。 - 优点与缺点：SGD的计算速度快，但在某些情况下可能会导致模型在全局最优解附近震荡，因为它没有考虑所有数据的全局趋势。 学习率调整： - 学习率衰减：一种策略是随着训练的进行逐渐降低学习率，如指数衰减或余弦退火，旨在避免在接近收敛时过快跳过局部最优。 - 自适应学习率算法：Adaptive Learning Rate（如Adagrad、RMSprop、Adam等）自适应地调整每个参数的学习率，根据历史梯度信息动态缩放，能够更好地处理不同参数的学习速度差异。 总结来说，梯度下降是基础优化方法，而随机梯度下降则是其并行化的形式。理解并选择合适的学习率调整策略对优化算法性能至关重要。在实际应用中，需要根据问题规模、数据分布和硬件限制等因素灵活选择和调整这些技术。