批量梯度下降和随机梯度下降的区别

批量梯度下降（Batch Gradient Descent，BGD）和随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）是两种常见的梯度下降算法。

BGD会在每一轮迭代中使用全部的训练数据来更新模型参数，因此收敛较慢，但是能够保证找到全局最优解。而SGD则是在每一轮迭代中只使用一个样本来更新模型参数，因此收敛速度快，但是可能会陷入局部最优解。

另外，SGD可以在梯度计算和参数更新时随机抽取样本，因此可以处理大规模数据集，而BGD则需要在内存中存储全部的训练数据。

因此，BGD适用于小规模数据集，SGD适用于大规模数据集。此外，还有一种折中的方法，即小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent），它在每一轮迭代中使用一部分训练数据来更新模型参数，可以平衡收敛速度和精度。

相关问题

1、请根据选择任一梯度下降算法（批量梯度下降、随机梯度下降或小批量梯度下降）求解多元线性回归的方程，并计算1、请根据选择任一梯度下降算法（批量梯度下降、随机梯度下降或小批量梯度下降）求解多元线性回归的方程，并计算相关系数，手动导入数据

在Python中，我们可以使用梯度下降算法来求解多元线性回归问题。这里我会分别介绍三种梯度下降方法如何应用到这个问题上：

1. 批量梯度下降 (Batch Gradient Descent):
这种方法在每次迭代时都会用整个训练集的数据来更新模型参数。对于每个训练样本，我们需要计算损失函数对所有权重的偏导数，然后取平均值进行权重更新。

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import r2_score

# 加载波士顿房价数据
boston = load_boston()
X, y = boston.data, boston.target

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)

# 初始化权重
w = np.zeros(X.shape[1])

# 设置学习率和最大迭代次数
learning_rate = 0.01
max_iterations = 1000

for _ in range(max_iterations):
    # 使用批量梯度下降更新权重
    w -= learning_rate * np.dot((X_train.T @ (X_train @ w - y_train)), X_train) / X_train.shape[0]

# 建立模型并预测
batch_regression = LinearRegression(fit_intercept=False)
batch_regression.coef_ = w
predictions = batch_regression.predict(X_test)

# 计算R²分数（相关系数平方）
r2_batch = r2_score(y_test, predictions)

2. 随机梯度下降 (Stochastic Gradient Descent, SGD):
每次迭代只用一个随机选取的训练样本更新模型。这种方法更快，但可能会在收敛速度和稳定性之间有所妥协。

def sgd(X, y, w, learning_rate, max_iterations):
    for _ in range(max_iterations):
        random_index = np.random.randint(0, len(X))
        gradient = (np.dot((X[random_index] @ w - y[random_index]), X[random_index]))
        w -= learning_rate * gradient
    return w

# 使用随机梯度下降
w_sgd = sgd(X_train, y_train, w.copy(), learning_rate, max_iterations)

# 其他步骤同上
sgd_regression = LinearRegression(fit_intercept=False)
sgd_regression.coef_ = w_sgd
predictions_sgd = sgd_regression.predict(X_test)
r2_sgd = r2_score(y_test, predictions_sgd)

3. 小批量梯度下降 (Mini-batch Gradient Descent):
它结合了批量和随机梯度下降的优点，每次迭代使用一小批随机选取的样本更新权重。

def mini_batch_gradient_descent(X, y, w, batch_size, learning_rate, max_iterations):
    for _ in range(max_iterations):
        for i in range(0, len(X), batch_size):
            gradient = (np.dot((X[i:i+batch_size] @ w - y[i:i+batch_size]).T, X[i:i+batch_size]) / batch_size)
            w -= learning_rate * gradient
    return w

# 使用小批量梯度下降
batch_size = 10
w_mini_batch = mini_batch_gradient_descent(X_train, y_train, w.copy(), batch_size, learning_rate, max_iterations)

# 其他步骤同上
mini_batch_regression = LinearRegression(fit_intercept=False)
mini_batch_regression.coef_ = w_mini_batch
predictions_mini_batch = mini_batch_regression.predict(X_test)
r2_mini_batch = r2_score(y_test, predictions_mini_batch)

介绍批量梯度下降和随机梯度下降

批量梯度下降（Batch Gradient Descent）和随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）都是常用的优化算法，用于在机器学习模型中找到最小化损失函数的参数。

批量梯度下降是指在每次迭代中使用整个训练集来更新模型参数，即对所有样本求解梯度后再进行参数更新。这种方法可以保证每次迭代都朝着全局最优解的方向前进，但计算代价较大，尤其在大规模数据集上，每一步的计算代价都非常高。

随机梯度下降是指在每次迭代中只使用一个样本来更新模型参数，即对每个样本单独求解梯度后进行参数更新。这种方法计算代价较小，但由于每次只更新一个样本的参数，可能会导致模型在参数空间中来回跳动，难以达到全局最优解。

为了综合两种方法的优点，还有一种折中的方法叫做小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent），即每次在训练集中随机抽取一小部分样本来更新模型参数。这种方法可以减少计算代价，同时也可以更稳定地朝着全局最优解方向前进。