复杂傅立叶级数扩展：欧式期权定价与误差分析

本文探讨了复杂傅立叶级数（Complex Fourier Series, CFS）在金融定价中的应用，特别是在评估各类欧式期权（包括资产或无资产期权、现金或无资产期权、远期启动期权、棘轮期权和普通期权）的价值时。CFS定价公式是对Chan（2016）提出的原始CFS扩展方法的扩展，它特别适用于那些由Levy过程、时间变化的Levy过程以及带有或不带跳跃的随机波动驱动的风险资产。 Levy过程是一种非平凡的随机过程，其分布具有广泛的形态，包括但不限于布朗运动，这使得它们在描述金融市场中资产价格的随机行为时非常有效。时间变化的Levy过程进一步扩展了这种灵活性，考虑到了时间的动态影响。Stochastic volatility模型结合了随机波动率的概念，能够更好地捕捉实际市场中价格的波动性变化，而跳跃特性则反映了市场中的异常事件，如股票拆分或公司并购等。 论文的核心贡献在于引入了CFS定价公式来处理这类复杂的期权结构，尤其是对于远期启动期权和棘轮期权，这两种期权通常包含特定的触发条件，如到期日之后的执行时间和股价达到特定水平的条件。通过CFS，作者能够提供一种数学工具，用以精确估算这些期权在不同市场环境下的价值。 此外，文章还对CFS扩展定价公式进行了误差分析，发现当选择合适的积分范围时，定价过程可以实现指数级的收敛速度，这意味着随着计算步骤的增加，定价结果会迅速趋近于真实值。这对于提高定价效率和准确性至关重要。 除了期权定价，文中还提及了如何利用这个公式推导出不同的期权敏感度指标，即希腊字母（Greeks），如Delta、Gamma、Theta和Vega，这些对于风险管理、套利策略和对冲策略的制定具有重要意义。 最后，作者承诺将在后续的研究中探讨CFS定价公式在更复杂期权类型的应用，例如具有早期行使特征（如美式期权和障碍期权）和路径依赖特征（如亚洲期权）的期权定价，这将展示CFS方法的广泛适用性和实用性。 这篇论文不仅扩展了CFS在期权定价领域的应用，而且还提供了对新型金融工具的有效数学框架，对于理解和定价金融市场中的非线性和路径依赖现象具有重要的理论和实践价值。