随机游走与Python计算：平均平方误差 MSE 实例

"随机游走是一种基于均匀分布随机数序列的计算模型，常用来模拟一些随机过程，如醉汉行走问题。在这个问题中，醉汉从电线杆出发，步长为l，每一步向右走的概率为p，向左走的概率为q（p+q=1）。醉汉在走了n步后，距离电线杆的平均位移和方差可以通过特定公式计算。位移的平均值(∆N)和方差(2Npq)是通过求所有可能行走过程的平均得出的。当p=q=0.5时，系统对称，醉汉回到原点的概率最高。查点法是解决这类问题的一种方法，它需要列出所有可能的行走路径及其概率，适用于步数较少的情况。而当步数较大时，通常采用蒙特卡洛方法进行模拟计算。" 随机游走模型是一种统计物理学和概率论中的概念，它在金融学、生物学、网络科学等领域都有广泛应用。模型的核心在于每个步骤的方向是独立且随机的，不受之前步骤的影响。在醉汉行走问题这个例子中，醉汉每次走一步，要么向右要么向左，两种可能性的概率分别为p和q。假设向右走的概率为p，那么向左走的概率就是q，且p+q=1，保持概率的平衡。 醉汉行走问题的数学表述是计算行走n步后的平均位移和方差。平均位移(∆N)的计算公式为： \[ \Delta N = \sum_{l=1}^{n} (-1)^l p^l q^{n-l} x_l \] 其中，\( x_l \) 表示第l步的位移（向右为正，向左为负），\( p^l \) 和 \( q^{n-l} \) 分别表示向右走l步和向左走\( n-l \)步的概率。 方差(Var)是衡量位移分散程度的量，对于醉汉行走问题，方差可以表示为： \[ Var = 2n pq \] 在向左和向右概率相等（p=q=0.5）的情况下，醉汉最终位置的期望值为零，这是因为每一步向左和向右的概率相同，抵消了对方的影响。 查点法是一种精确计算随机过程的方法，尤其适用于步数较小的情况。对于给定的总步数n和总位移N_x，查点法需要列出所有可能的行走路径以及它们对应的概率。然而，随着步数的增加，这种方法的计算复杂度迅速上升，因此在实际问题中，当步数较大时，通常采用蒙特卡洛方法进行模拟，通过大量随机实验来估算结果，这种方法更加实用和高效。