随机游走与Python计算:平均平方误差 MSE 实例
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更新于2024-08-10
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"随机游走是一种基于均匀分布随机数序列的计算模型,常用来模拟一些随机过程,如醉汉行走问题。在这个问题中,醉汉从电线杆出发,步长为l,每一步向右走的概率为p,向左走的概率为q(p+q=1)。醉汉在走了n步后,距离电线杆的平均位移和方差可以通过特定公式计算。位移的平均值(∆N)和方差(2Npq)是通过求所有可能行走过程的平均得出的。当p=q=0.5时,系统对称,醉汉回到原点的概率最高。查点法是解决这类问题的一种方法,它需要列出所有可能的行走路径及其概率,适用于步数较少的情况。而当步数较大时,通常采用蒙特卡洛方法进行模拟计算。"
随机游走模型是一种统计物理学和概率论中的概念,它在金融学、生物学、网络科学等领域都有广泛应用。模型的核心在于每个步骤的方向是独立且随机的,不受之前步骤的影响。在醉汉行走问题这个例子中,醉汉每次走一步,要么向右要么向左,两种可能性的概率分别为p和q。假设向右走的概率为p,那么向左走的概率就是q,且p+q=1,保持概率的平衡。
醉汉行走问题的数学表述是计算行走n步后的平均位移和方差。平均位移(∆N)的计算公式为:
\[ \Delta N = \sum_{l=1}^{n} (-1)^l p^l q^{n-l} x_l \]
其中,\( x_l \) 表示第l步的位移(向右为正,向左为负),\( p^l \) 和 \( q^{n-l} \) 分别表示向右走l步和向左走\( n-l \)步的概率。
方差(Var)是衡量位移分散程度的量,对于醉汉行走问题,方差可以表示为:
\[ Var = 2n pq \]
在向左和向右概率相等(p=q=0.5)的情况下,醉汉最终位置的期望值为零,这是因为每一步向左和向右的概率相同,抵消了对方的影响。
查点法是一种精确计算随机过程的方法,尤其适用于步数较小的情况。对于给定的总步数n和总位移N_x,查点法需要列出所有可能的行走路径以及它们对应的概率。然而,随着步数的增加,这种方法的计算复杂度迅速上升,因此在实际问题中,当步数较大时,通常采用蒙特卡洛方法进行模拟,通过大量随机实验来估算结果,这种方法更加实用和高效。
2020-09-19 上传
2023-06-06 上传
2023-05-23 上传
2023-04-23 上传
2023-08-31 上传
2023-06-07 上传
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2023-05-29 上传
2023-06-07 上传
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吴雄辉
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